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Question Number 137129 by Chhing last updated on 30/Mar/21

$$$$$$({\mathrm{x}}^2-1){\mathrm{y}}^{″}-\mathrm{n}(\mathrm{n}+1)\mathrm{y}=0,\mathrm{n}\in \mathbb{N}$$$$\mathrm{Find}\mathrm{solution}\mathrm{that}\mathrm{can}\mathrm{be}\mathrm{expanded}\mathrm{in}\mathrm{series}$$$$\mathrm{help}\mathrm{me}$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Mar/21

$$\mathrm{y}=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}\Rightarrow {\mathrm{y}}^{{}^{\prime }}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{na}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-1}\mathrm{and}{\mathrm{y}}^{{}^{″}}=\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{n}(\mathrm{n}-1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-2}$$$$\mathrm{e}\Rightarrow ({\mathrm{x}}^2-1)\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{n}(\mathrm{n}-1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-2}-\mathrm{p}(\mathrm{p}+1)\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=0\Rightarrow$$$$\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{n}(\mathrm{n}-1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{n}(\mathrm{n}-1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}-2}-\mathrm{p}(\mathrm{p}+1)\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=0\Rightarrow$$$$\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\{\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)-\mathrm{p}(\mathrm{p}+1)\}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}-\mathrm{p}(\mathrm{p}+1)-\mathrm{p}(\mathrm{p}+1){\mathrm{a}}_1\mathrm{x}$$$$-\sum _{\mathrm{n}=0}^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{n}+2)(\mathrm{n}+1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}=0\Rightarrow$$$${2\mathrm{a}}_2+{6\mathrm{a}}_3\mathrm{x}+\sum _{\mathrm{n}=2}^{\mathrm{\infty }}\{(\mathrm{n}(\mathrm{n}-1)-\mathrm{p}(\mathrm{p}+1)){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}-(\mathrm{n}+2)(\mathrm{n}+1){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}\}{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}$$$$-\mathrm{p}(\mathrm{p}+1)-\mathrm{p}(\mathrm{p}+1){\mathrm{a}}_1\mathrm{x}+{2\mathrm{a}}_2+{6\mathrm{a}}_3\mathrm{x}=0\Rightarrow$$$$\Rightarrow ({\mathrm{n}}^2-{\mathrm{p}}^2-\mathrm{n}-\mathrm{p}){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}-(\mathrm{n}+1)(\mathrm{n}+2){\mathrm{a}}_{\mathrm{n}+2}=0\mathrm{\forall }\mathrm{n}⩾2\mathrm{and}$$$$-\mathrm{p}(\mathrm{p}+1)+{2\mathrm{a}}_2=0\mathrm{and}({6\mathrm{a}}_3-\mathrm{p}(\mathrm{p}+1){\mathrm{a}}_1)=0$$$$...\mathrm{be}\mathrm{continued}...$$

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