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Question Number 137366 by liberty last updated on 02/Apr/21

Find the solution of equation sin^2 x+sin^2 2x+sin^2 3x = 1 on interval (0,2π)

$${Find}\:{the}\:{solution}\:{of}\:{equation} \\ $$$$\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3}{x}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$${on}\:{interval}\:\left(\mathrm{0},\mathrm{2}\pi\right) \\ $$

Answered by benjo_mathlover last updated on 02/Apr/21

(∗) sin^2 x+sin^2 3x = 1−sin^2 2x (sin 3x+sin x)^2 −2sin 3x sin x = cos^2 2x (2sin 2x cos x)^2 +cos 4x−cos 2x=cos^2 2x 4sin^2 2x ((1/2)+(1/2)cos 2x)+cos 4x−cos 2x=cos^2 2x let cos 2x = a (1−a^2 )(2+2a)+2a^2 −1−a=a^2 2+2a−2a^2 −2a^3 +2a^2 −1−a−a^2 =0 −2a^3 −a^2 +a+1=0 2a^3 +a^2 −a−1=0 x_1 ≈ 0.2963 x_2 ≈ 2.8453 x_3 ≈ 3.4379 x_4 ≈ 5.9869

$$\left(\ast\right)\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} {x}+\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3}{x}\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x} \\ $$$$ \:\left(\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}+\mathrm{sin}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2sin}\:\mathrm{3}{x}\:\mathrm{sin}\:{x}\:=\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x} \\ $$$$ \left(\mathrm{2sin}\:\mathrm{2}{x}\:\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}=\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x} \\ $$$$\mathrm{4sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\right)+\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}=\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x} \\ $$$${let}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:=\:{a} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{2}+\mathrm{2}{a}\right)+\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−{a}={a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \mathrm{2}+\mathrm{2}{a}−\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}−{a}−{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$ −\mathrm{2}{a}^{\mathrm{3}} −{a}^{\mathrm{2}} +{a}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$ \mathrm{2}{a}^{\mathrm{3}} +{a}^{\mathrm{2}} −{a}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} \approx\:\mathrm{0}.\mathrm{2963} \\ $$$${x}_{\mathrm{2}} \approx\:\mathrm{2}.\mathrm{8453} \\ $$$${x}_{\mathrm{3}} \:\approx\:\mathrm{3}.\mathrm{4379} \\ $$$${x}_{\mathrm{4}} \:\approx\:\mathrm{5}.\mathrm{9869} \\ $$

Answered by liberty last updated on 02/Apr/21

⇔ ((1−cos 2x)/2) + ((1−cos 4x)/2) = cos^2 3x ((2−cos 2x−cos 4x)/2) = ((1+cos 6x)/2) cos 6x+cos 4x+cos 2x = 1 cos 4x+2cos 4x cos 2x=1 2cos^2 2x−1+2cos 2x(2cos^2 2x−1)−1=0 let cos 2x = c ⇒2c^2 +2c(2c^2 −1)−2=0 ⇒2c^3 +c^2 −c−1=0

$$\Leftrightarrow\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}}{\mathrm{2}}\:+\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}}{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{3}{x} \\ $$$$\frac{\mathrm{2}−\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{6}{x}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\mathrm{cos}\:\mathrm{6}{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{cos}\:\mathrm{4}{x}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{4}{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{2}{x}−\mathrm{1}+\mathrm{2cos}\:\mathrm{2}{x}\left(\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{2}{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${let}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:=\:{c} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{c}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}{c}\left(\mathrm{2}{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}{c}^{\mathrm{3}} \:+{c}^{\mathrm{2}} −{c}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\: \\ $$$$ \\ $$

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