Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Differentiation Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Differentiation      Next in Differentiation      

Question Number 139555 by snipers237 last updated on 28/Apr/21

Π_(i=0) ^5 (1−cotan(20+i)) =^? 8

$$\:\:\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{5}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−{cotan}\left(\mathrm{20}+{i}\right)\right)\:\:\overset{?} {=}\:\mathrm{8} \\ $$

Answered by mr W last updated on 28/Apr/21

(1−(1/(tan 20°)))(1−(1/(tan 25°))) =1−(1/(tan 20°))−(1/(tan 25°))+(1/(tan 20°tan 25°)) =1−((tan 20°+tan 25°)/(tan 20°tan 25°))+(1/(tan 20°tan 25°)) =1−((tan 20°+tan 25°)/(tan 20°tan 25°))×((1−tan 20°tan 25°)/(1−tan 20°tan 25°))+(1/(tan 20°tan 25°)) =1−((tan 45°(1−tan 20°tan 25°))/(tan 20°tan 25°))+(1/(tan 20°tan 25°)) =1−((1−tan 20°tan 25°)/(tan 20°tan 25°))+(1/(tan 20°tan 25°)) =1−(1/(tan 20°tan 25°))+1+(1/(tan 20°tan 25°)) =2 similarly (1−(1/(tan 21°)))(1−(1/(tan 24°)))=2 (1−(1/(tan 22°)))(1−(1/(tan 23°)))=2 ⇒Π_(i=0) ^5 (1−cot (20+i)) =(1−(1/(tan 20°)))(1−(1/(tan 21°)))(1−(1/(tan 22°)))(1−(1/(tan 23°)))(1−(1/(tan 24°)))(1−(1/(tan 25°))) =2×2×2 =8

$$\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}\right) \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°+\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°+\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}×\frac{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{tan}\:\mathrm{45}°\left(\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°\right)}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}+\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°} \\ $$$$=\mathrm{2} \\ $$$${similarly} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{21}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{24}°}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{22}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{23}°}\right)=\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{i}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{5}} {\prod}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cot}\:\left(\mathrm{20}+{i}\right)\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{20}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{21}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{22}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{23}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{24}°}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{25}°}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}×\mathrm{2}×\mathrm{2} \\ $$$$=\mathrm{8} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com