Question Number 139556 by mnjuly1970 last updated on 28/Apr/21
![........ advanced ... ... ... calculus........ Φ= lim_(n→∞) {∫_1 ^( n) (x/([x]^2 )) dx −ψ(n+1)}=? solution: Φ_n =∫_1 ^( n) (x/([x]^2 )) dx=Σ_(k=1) ^(n−1) ∫_k ^( k+1) (x/k^2 ) dx = (1/2)Σ_(k=1) ^(n−1) (1/k^2 )(2k+1)=Σ_(k=1) ^(n−1) (1/k)+(1/2)Σ_(k=1) ^(n−1) (1/k^2 ) Φ = lim_(n→∞) (Φ_n −ψ(n+1)) = (π^2 /(12)) +lim_(n→∞) (Σ_(k=1) ^(n−1) (1/k)−ψ(n+1)) =_(2 : ψ(n+1)= H_n −γ ) ^(1 :ψ (n+1) := (1/n) +ψ(n)) (π^2 /(12))+lim_(n→∞) (Σ_(k=1) ^(n−1) (1/k)−H_n +γ) ∴ Φ := (π^2 /(12)) +γ −lim_(n→∞) ((1/n)) ......... Φ:=(1/2) ζ (2) +γ γ :: Euler− Mascheroni constant...](Q139556.png)
$$\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:........\:{advanced}\:...\:...\:...\:{calculus}........ \\ $$$$\:\:\:\Phi=\:{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \left\{\int_{\mathrm{1}} ^{\:{n}} \frac{{x}}{\left[{x}\right]^{\mathrm{2}} }\:{dx}\:−\psi\left({n}+\mathrm{1}\right)\right\}=? \\ $$$$\:\:\:\:{solution}: \\ $$$$\:\:\:\:\:\Phi_{{n}} =\int_{\mathrm{1}} ^{\:{n}} \frac{{x}}{\left[{x}\right]^{\mathrm{2}} }\:{dx}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\int_{{k}} ^{\:{k}+\mathrm{1}} \frac{{x}}{{k}^{\mathrm{2}} }\:{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{2}{k}+\mathrm{1}\right)=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\Phi\:=\:{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \left(\Phi_{{n}} −\psi\left({n}+\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\psi\left({n}+\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{2}\::\:\psi\left({n}+\mathrm{1}\right)=\:{H}_{{n}} −\gamma\:} {\overset{\mathrm{1}\::\psi\:\left({n}+\mathrm{1}\right)\::=\:\frac{\mathrm{1}}{{n}}\:+\psi\left({n}\right)} {=}}\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}+{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−{H}_{{n}} +\gamma\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\therefore\:\:\:\:\Phi\::=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:+\gamma\:−{lim}_{{n}\rightarrow\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{{n}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:.........\:\Phi:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\zeta\:\left(\mathrm{2}\right)\:+\gamma\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\gamma\:::\:{Euler}−\:{Mascheroni}\:{constant}... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$