Question Number 14071 by tawa tawa last updated on 27/May/17
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{Partial}\:\mathrm{fraction}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13}}{\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 27/May/17
$$\mathrm{I}\:\mathrm{have}\:\mathrm{done}\:\mathrm{by}\:\mathrm{calculator}: \\ $$$$\frac{\mathrm{32}}{\left({x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\:\frac{\mathrm{230}}{{x}\:−\:\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{93}{x}\:+\:\mathrm{287}}{\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}{x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:+ \\ $$$$\frac{\mathrm{230}{x}\:+\:\mathrm{661}}{{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}{x}\:−\:\mathrm{2}} \\ $$
Answered by RasheedSindhi last updated on 28/May/17
$$\mathrm{Let} \\ $$$$\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13}}{\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Multiplying}\:\mathrm{by}\:\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\left(\mathrm{B}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\left(\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:=\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15x}+\mathrm{52}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)−\mathrm{125x}+\mathrm{117}..\left(\mathrm{A}\right) \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9}\left(\mathrm{1}\right)\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{3}−\mathrm{9}+\mathrm{16}+\mathrm{9}+\mathrm{13}=\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{2}} =\mathrm{32} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\pm\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}=\pm{a} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}=\left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{putting}\:\mathrm{in}\:\mathrm{A} \\ $$$$\left(\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left(\pm{a}\right)+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \right)\left(\pm{a}−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:=\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15x}+\mathrm{52}\right)\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{125}\left(\pm{a}\right)+\mathrm{117} \\ $$$$\left(\pm{a}\right)\left(\pm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{B}_{\mathrm{2}} +\left(\pm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{C}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{125}\left(\pm{a}\right)+\mathrm{117} \\ $$$$\mathrm{continue}. \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 27/May/17
$$\mathrm{Am}\:\mathrm{with}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Answered by RasheedSindhi last updated on 28/May/17
![((3x^4 − 9x^3 + 16x^2 + 9x + 13)/((x − 1)^2 (x^2 + 2x − 2)^2 ))...(A) x^2 +2x−2=(x+1)^2 =3 x=±(√3)−1=±a x^2 +2x−2=(x−a)(x+a) 3x^4 − 9x^3 + 16x^2 + 9x + 13 =(x^2 +2x−2)(3x^2 −15x+52)−125x+117 =(x−a)(x+a)(3x^2 −15x+52)−125x+117 (A)⇒((3x^4 − 9x^3 + 16x^2 + 9x + 13)/((x − 1)^2 (x−a)^2 (x+a)^2 )) [Here a=±(√3)−1] ((3x^4 − 9x^3 + 16x^2 + 9x + 13)/((x − 1)^2 (x−a)^2 (x+a)^2 )) =(A_1 /(x−1))+(A_2 /((x−1)^2 ))+(B_1 /(x−a))+(B_2 /((x−a)^2 ))+(C_1 /(x+a))+(C_2 /((x+a)^2 )) 3x^4 − 9x^3 + 16x^2 + 9x + 13 =A_1 (x − 1)(x−a)^2 (x+a)^2 +A_2 (x−a)^2 (x+a)^2 +B_1 (x − 1)^2 (x−a)(x+a)^2 +B_2 (x − 1)^2 (x+a)^2 +C_1 (x − 1)^2 (x−a)^2 (x+a) +C_2 (x − 1)^2 (x−a)^2 x=1⇒ 3(1)^4 − 9(1)^3 + 16(1)^2 + 9(1) + 13 =A_2 (x−a)^2 (x+a)^2 3−9+16+9+13=A_2 [(x−a)(x+a)]^2 32=A_2 (x^2 +2x−2)^2 32=A_2 ((1)^2 +2(1)−2)^2 A_2 =32 x=a⇒ 3x^4 − 9x^3 + 16x^2 + 9x + 13 =B_2 (x − 1)^2 (x+a)^2 (x−a)(x+a)(3x^2 −15x+52)−125x+117 =B_2 (x − 1)^2 (x+a)^2 (0)(a+a)(3a^2 −15a+52)−125a+117 =B_2 (a− 1)^2 (a+a)^2 −125a+117=B_2 (4a^2 )(a−1)^2 B_2 =((−125a+117)/(4a^2 (a−1)^2 ))=b x=−a⇒ C_2 (−a − 1)^2 (−a−a)^2 =(x−a)(−a+a)(3x^2 −15x+52)−125x+117 C_2 (a+1)^2 (4a^2 )=−125a+117 C_2 =((−125a+117)/(4a^2 (a+1)^2 ))=c 3x^4 − 9x^3 + 16x^2 + 9x + 13 =A_1 (x − 1)(x−a)^2 (x+a)^2 +A_2 (x−a)^2 (x+a)^2 +B_1 (x − 1)^2 (x−a)(x+a)^2 +B_2 (x − 1)^2 (x+a)^2 +C_1 (x − 1)^2 (x−a)^2 (x+a) +C_2 (x − 1)^2 (x−a)^2 ⊂⊚∩⊤∣∩∪∈](Q14122.png)
$$\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13}}{\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }...\left(\mathrm{A}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\pm\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}=\pm\boldsymbol{{a}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}=\left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right) \\ $$$$\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15x}+\mathrm{52}\right)−\mathrm{125x}+\mathrm{117} \\ $$$$\:\:\:=\left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right)\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15x}+\mathrm{52}\right)−\mathrm{125x}+\mathrm{117} \\ $$$$\left(\mathrm{A}\right)\Rightarrow\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13}}{\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left[{Here}\:{a}=\pm\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right] \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13}}{\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{x}−{a}}+\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{x}+{a}}+\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:=\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{B}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{1}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{3}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9}\left(\mathrm{1}\right)\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{3}−\mathrm{9}+\mathrm{16}+\mathrm{9}+\mathrm{13}=\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left[\left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right)\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{32}=\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{32}=\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{2}} =\mathrm{32} \\ $$$$\mathrm{x}={a}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right)\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15x}+\mathrm{52}\right)−\mathrm{125x}+\mathrm{117} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\left(\mathrm{0}\right)\left({a}+{a}\right)\left(\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15}{a}+\mathrm{52}\right)−\mathrm{125}{a}+\mathrm{117} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left({a}−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({a}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:−\mathrm{125}{a}+\mathrm{117}=\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} \right)\left({a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{B}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{125}{a}+\mathrm{117}}{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} \left({a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\boldsymbol{\mathrm{b}} \\ $$$$\mathrm{x}=−{a}\Rightarrow \\ $$$$\:\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \left(−{a}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(−{a}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:=\left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(−{a}+{a}\right)\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15x}+\mathrm{52}\right)−\mathrm{125x}+\mathrm{117} \\ $$$$\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \left({a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} \right)=−\mathrm{125}{a}+\mathrm{117} \\ $$$$\mathrm{C}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{125}{a}+\mathrm{117}}{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} \left({a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\boldsymbol{\mathrm{c}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:=\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{B}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\subset\circledcirc\cap\top\shortmid\cap\cup\in \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 28/May/17
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{Am}\:\mathrm{with}\:\mathrm{you}. \\ $$