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Question Number 140734 by liberty last updated on 12/May/21

$$\mathrm{Let}\mathrm{m},\mathrm{n}\mathrm{be}\mathrm{given}\mathrm{positive}\mathrm{integers}.$$ $$\mathrm{If}\mathrm{x}\mathrm{\&}\mathrm{y}\mathrm{are}\mathrm{positive}\mathrm{numbers}\mathrm{such}\mathrm{that}$$ $$\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{S},\mathrm{S}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{constant},\mathrm{find}$$ $$\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{x}\mathrm{and}\mathrm{y}\mathrm{that}\mathrm{maximize}$$ $$\mathrm{Q}={\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}{\mathrm{y}}^{\mathrm{n}}.$$

Commented bymr W last updated on 12/May/21

$$ifmandnbothareeven,thereis$$ $$minimum.$$ $$$$ $$ifonlyoneofm,niseven,thereisno$$ $$maximumandnominimum.$$ $$$$ $$ifbothmandnareodd,thereis$$ $$maximum.$$

Answered by EDWIN88 last updated on 12/May/21

$$\mathrm{setting}\frac{\mathrm{dQ}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{mx}}^{\mathrm{m}-1}{(\mathrm{S}-\mathrm{x})}^{\mathrm{n}}-\mathrm{n}{(\mathrm{S}-\mathrm{x})}^{\mathrm{n}-1}{\mathrm{x}}^{\mathrm{m}}=0$$ $$\mathrm{we}\mathrm{obtain}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{mS}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}.\mathrm{The}\mathrm{first}-\mathrm{derivative}\mathrm{test}$$ $$\mathrm{show}\mathrm{that}\mathrm{this}\mathrm{yields}\mathrm{a}\mathrm{relative}\mathrm{maximum}$$ $$\mathrm{and}\mathrm{therefore}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{uniqueness}\mathrm{of}\mathrm{critical}$$ $$\mathrm{number},\mathrm{an}\mathrm{absolute}\mathrm{maximum}\mathrm{when}\mathrm{x}=\frac{\mathrm{mS}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}},\mathrm{y}=\frac{\mathrm{nS}}{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$$

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