Question Number 141133 by mnjuly1970 last updated on 16/May/21
$$\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{I}}:=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \frac{\left({x}^{{n}} −\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)}{{x}^{{n}+\mathrm{3}} −\mathrm{1}}{dx}=?? \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 17/May/21
![at form of series Ψ=∫_0 ^1 ((x^(n+1) −x^n −x+1)/(x^(n+3) −1))dx +∫_1 ^∞ ((x^(n+1) −x^n −x+1)/(x^(n+3) −1))dx =Ψ_1 +Ψ_2 Ψ_1 =−∫_0 ^1 (x^(n+1) −x^n −x+1)Σ_(k=0) ^∞ x^(k(n+3)) =−Σ_(k=0) ^∞ ∫_0 ^1 (x^(n+1 +k(n+3)) −x^(k(n+3)+n) +x^(k(n+3)) dx =−Σ_(k=0) ^∞ [(1/(n+2+(n+3)k))x^(n+2+(n+3)k) −(1/(n+1+(n+3)k))x^(n+1+(n+3)k) +(1/(1+(n+3)k))x^(1+(n+3)k) ]_0 ^1 =−Σ_(k=0) ^∞ ((1/(n+2+(n+3)k))−(1/(n+1+(n+3)k))+(1/(1+(n+3)k))) Ψ_2 =_(x=(1/t)) −∫_0 ^1 (((1/t^(n+1) )−(1/t^n )−(1/t)+1)/((1/t^(n+3) )−1))×(−(dt/t^2 )) =∫_0 ^1 t^(n+1) ((((1/t^(n+1) )−(1/t^n )−(1/t)+1)/(1−t^(n+3) )))dt =∫_0 ^1 ((1−t−t^n +t^(n+1) )/(1−t^(n+3) ))dt =∫_0 ^1 ((−t^(n+1) +t^n +t−1)/(t^(n+3) −1))dt ⇒ Ψ_1 +Ψ_2 =∫_0 ^1 ((x^(n+1) −x^n −x+1−x^(n+1) +x^n +x−1)/(x^(n+3) −1))dx =0 ⇒Ψ=0 !](Q141259.png)
$$\mathrm{at}\:\mathrm{form}\:\mathrm{of}\:\mathrm{series}\:\Psi=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:+\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:−\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\Psi_{\mathrm{1}} +\Psi_{\mathrm{2}} \\ $$$$\Psi_{\mathrm{1}} =−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{k}\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}\:+\mathrm{k}\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)} −\mathrm{x}^{\mathrm{k}\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)+\mathrm{n}} \:+\mathrm{x}^{\mathrm{k}\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)} \mathrm{dx}\right. \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\mathrm{k}}\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\mathrm{k}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\mathrm{k}}\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\mathrm{k}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\mathrm{k}}\mathrm{x}^{\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\mathrm{k}} \right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\ $$$$=−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\mathrm{k}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{3}\right)\mathrm{k}}\right) \\ $$$$\Psi_{\mathrm{2}} =_{\mathrm{x}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}} \:\:\:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}+\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{3}} }−\mathrm{1}}×\left(−\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{n}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}+\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{3}} }\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}−\mathrm{t}^{\mathrm{n}} +\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{3}} }\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{−\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{t}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{t}−\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\mathrm{dt}\:\Rightarrow \\ $$$$\Psi_{\mathrm{1}} +\Psi_{\mathrm{2}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{x}^{\mathrm{n}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{x}^{\mathrm{n}} +\mathrm{x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{0}\:\Rightarrow\Psi=\mathrm{0}\:\:! \\ $$