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Question Number 141585 by ZiYangLee last updated on 20/May/21

If n is a multiple of 4 and i=(√(−1)) , find the sum of the series S=1+2i+3i^2 +......+(n+1)i^n

$$\mathrm{If}\:{n}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{multiple}\:\mathrm{of}\:\mathrm{4}\:\mathrm{and}\:{i}=\sqrt{−\mathrm{1}}\:,\: \\ $$$$\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{series} \\ $$$$\:\:\:{S}=\mathrm{1}+\mathrm{2}{i}+\mathrm{3}{i}^{\mathrm{2}} +......+\left({n}+\mathrm{1}\right){i}^{{n}} \: \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 21/May/21

S=1+2i+3i^2 +....+(n+1)i^n =Σ_(k=0) ^n (k+1)i^k we have Σ_(k=0) ^n x^k =((x^(n+1) −1)/(x−1)) (x≠1) ⇒Σ_(k=1) ^n kx^(k−1) =(d/dx)(((x^(n+1) −1)/(x−1))) =((nx^(n+1) −(n+1)x^n +1)/((x−1)^2 )) ⇒Σ_(k=0) ^(n−1) (k+1)x^k ⇒let change n by n+1 ⇒ Σ_(k=0) ^n (k+1)x^k =(((n+1)x^(n+2) −(n+2)x^(n+1) +1)/((x−1)^2 )) if n=4p ⇒Σ_(k=0) ^n (k+1)i^k =(((4p+1)i^(4p+2) −(4p+2)i^(4p+1) +1)/((i−1)^2 )) =((−(4p+1)−(4p+2)i+1)/(−2i)) =((4p+1+(4p+2)i+1)/(2i)) =−(i/2)(n+1+(n+2)i +1) =(1/2)(−i(n+1) +n+2 −i)

$$\mathrm{S}=\mathrm{1}+\mathrm{2i}+\mathrm{3i}^{\mathrm{2}} +....+\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{i}^{\mathrm{n}} \:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{i}^{\mathrm{k}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:\:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\:\left(\mathrm{x}\neq\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{kx}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:\Rightarrow\mathrm{let}\:\mathrm{change}\:\mathrm{n}\:\mathrm{by}\:\mathrm{n}+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:=\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{n}=\mathrm{4p}\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{i}^{\mathrm{k}} \:=\frac{\left(\mathrm{4p}+\mathrm{1}\right)\mathrm{i}^{\mathrm{4p}+\mathrm{2}} −\left(\mathrm{4p}+\mathrm{2}\right)\mathrm{i}^{\mathrm{4p}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{i}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{−\left(\mathrm{4p}+\mathrm{1}\right)−\left(\mathrm{4p}+\mathrm{2}\right)\mathrm{i}+\mathrm{1}}{−\mathrm{2i}}\:=\frac{\mathrm{4p}+\mathrm{1}+\left(\mathrm{4p}+\mathrm{2}\right)\mathrm{i}+\mathrm{1}}{\mathrm{2i}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{i}\:+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(−\mathrm{i}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\:+\mathrm{n}+\mathrm{2}\:−\mathrm{i}\right) \\ $$

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