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Question Number 141715 by SOMEDAVONG last updated on 22/May/21

Find x if Σ_(n=2) ^(24) ((250)/((1+x)^n )) = 5000.

$$\mathrm{Find}\:\mathrm{x}\:\mathrm{if}\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{2}} {\overset{\mathrm{24}} {\sum}}\frac{\mathrm{250}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} }\:=\:\mathrm{5000}. \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 22/May/21

Σ_(n=2) ^(24) ((250)/((1+x)^n ))=5000 ⇒Σ_(n=3) ^(25) (1/x^(n−1) ) =((5000)/(250))=((500)/(25))=20 ⇒ Σ_(n=3) ^(25) ((1/x))^(n−1) =20 ⇒Σ_(n=1) ^(25) ((1/x))^(n−1) −1−(1/x)=20 ⇒ Σ_(n=0) ^(24) ((1/x))^n −1−(1/x)=20 ⇒((1−((1/x))^(25) )/(1−(1/x)))−1−(1/x)=20 ⇒ ((x(1−(1/x^(25) )))/(x−1))−(1+(1/x))=20 ⇒ ((x−(1/x^(24) )−(x−1)(1+(1/x)))/(x−1))=20 ⇒ x−(1/x^(24) )−(x+1−1−(1/x))=20(x−1) ⇒ x−(1/x^(24) )−x+(1/x) =20x−20 ⇒ (1/x)−(1/x^(24) )−20x+20 =0 ⇒ x^(23) −1−20x^(25) +20x^(24) =0 ⇒ 20x^(25) −20x^(24) −x^(23) +1=0 rest to solve this equation ...

$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{24}} \:\frac{\mathrm{250}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} }=\mathrm{5000}\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{3}} ^{\mathrm{25}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }\:=\frac{\mathrm{5000}}{\mathrm{250}}=\frac{\mathrm{500}}{\mathrm{25}}=\mathrm{20}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{3}} ^{\mathrm{25}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\mathrm{20}\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{25}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{20}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{24}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{n}} −\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{20}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{25}} }{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}}−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{20}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{25}} }\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{20}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{24}} }−\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}=\mathrm{20}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{24}} }−\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)=\mathrm{20}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{24}} }−\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:=\mathrm{20x}−\mathrm{20}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{24}} }−\mathrm{20x}+\mathrm{20}\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{23}} −\mathrm{1}−\mathrm{20x}^{\mathrm{25}} \:+\mathrm{20x}^{\mathrm{24}} \:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{20x}^{\mathrm{25}} −\mathrm{20x}^{\mathrm{24}} −\mathrm{x}^{\mathrm{23}} \:+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\:\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{solve}\:\mathrm{this}\:\mathrm{equation}\:... \\ $$

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