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Question Number 141805 by mohammad17 last updated on 23/May/21

∫(dx/(1−tanx))

$$\int\frac{{dx}}{\mathrm{1}−{tanx}} \\ $$

Answered by MJS_new last updated on 23/May/21

∫(dx/(1−tan x))= [t=tan x → dx=(dt/(t^2 +1))] =∫(dt/((1−t)(t^2 +1)))= =(1/4)∫((2t)/(t^2 +1))dt+(1/2)∫(dt/(t^2 +1))−(1/2)∫(dt/(t−1))= =(1/4)ln (t^2 +1) +(1/2)arctan t −(1/2)ln (t−1) = =(1/4)ln ((t^2 +1)/((t−1)^2 )) +(1/2)arctan t = =(x/2)−(1/4)ln (1−sin 2x) +C

$$\int\frac{{dx}}{\mathrm{1}−\mathrm{tan}\:{x}}= \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[{t}=\mathrm{tan}\:{x}\:\rightarrow\:{dx}=\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right] \\ $$$$=\int\frac{{dt}}{\left(\mathrm{1}−{t}\right)\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\frac{\mathrm{2}{t}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dt}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dt}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{{dt}}{{t}−\mathrm{1}}= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\:{t}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left({t}−\mathrm{1}\right)\:= \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\frac{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctan}\:{t}\:= \\ $$$$=\frac{{x}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\right)\:+{C} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 24/May/21

Φ=∫ (dx/(1−tanx)) ⇒Φ=_(tanx=t) ∫ (dt/((1+t^2 )(1−t))) =−∫ (dt/((t−1)(t^2 +1))) let decompose F(t)=(1/((t−1)(t^2 +1))) F(t)=(a/(t−1)) +((bt +c)/(t^2 +1)) , a=(1/2),lim_(t→+∞) tF(t)=0 =a+b ⇒b=−(1/2) ⇒F(t)=(1/(2(t−1))) +((−(1/2)t+c)/(t^2 +1)) F(o)=−1 =−(1/2) +c ⇒c=−(1/2) ⇒F(t)=(1/(2(t−1)))−(1/2)×((t+1)/(t^2 +1)) ⇒Φ=−∫ F(t)dt =−(1/2)∫ (dt/(t−1)) +(1/2)∫ ((t+1)/(t^2 +1))dt =−(1/2)log∣t−1∣ +(1/4)log(t^2 +1)+(1/2)arctant +C =−(1/2)log∣tanx−1∣ +(1/4)log(1+tan^2 x) +(x/2) +C

$$\Phi=\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}−\mathrm{tanx}}\:\Rightarrow\Phi=_{\mathrm{tanx}=\mathrm{t}} \:\:\int\:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{t}\right)}\:=−\int\:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{bt}\:+\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\:,\:\:\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow+\infty} \mathrm{tF}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)}\:+\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}+\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{o}\right)=−\mathrm{1}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\Phi=−\int\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\mid\mathrm{t}−\mathrm{1}\mid\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{log}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{arctant}\:+\mathrm{C} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{log}\mid\mathrm{tanx}−\mathrm{1}\mid\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)\:+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:+\mathrm{C} \\ $$

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