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Question Number 142577 by loveineq last updated on 02/Jun/21

Let a,b,c ≥ 0 and a+b+c = 1.Prove that (1/(a^2 +1))+(1/(b^2 +1))+(1/(c^2 +1)) ≥ (5/2)

$$\mathrm{Let}\:{a},{b},{c}\:\geqslant\:\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:{a}+{b}+{c}\:=\:\mathrm{1}.\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\geqslant\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$

Answered by ajfour last updated on 02/Jun/21

l.h.s=((1/a)/(a+(1/a)))+((1/b)/(b+(1/b)))+((1/c)/(c+(1/c))) =3−((a/(a+(1/a)))+(b/(b+(1/b)))+(c/(c+(1/c)))) ≥3−(1/2)(a+b+c) ≥ (5/2) as a+(1/a)≥2 if a>0.

$${l}.{h}.{s}=\frac{\mathrm{1}/{a}}{{a}+\frac{\mathrm{1}}{{a}}}+\frac{\mathrm{1}/{b}}{{b}+\frac{\mathrm{1}}{{b}}}+\frac{\mathrm{1}/{c}}{{c}+\frac{\mathrm{1}}{{c}}} \\ $$$$\:\:=\mathrm{3}−\left(\frac{{a}}{{a}+\frac{\mathrm{1}}{{a}}}+\frac{{b}}{{b}+\frac{\mathrm{1}}{{b}}}+\frac{{c}}{{c}+\frac{\mathrm{1}}{{c}}}\right) \\ $$$$\:\:\geqslant\mathrm{3}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({a}+{b}+{c}\right)\:\geqslant\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}} \\ $$$${as}\:\:{a}+\frac{\mathrm{1}}{{a}}\geqslant\mathrm{2}\:\:\:{if}\:{a}>\mathrm{0}. \\ $$$$ \\ $$

Commented by loveineq last updated on 02/Jun/21

But this can not explain that equality holds iff (a,b,c)=(0,0,1)

$$\mathrm{But}\:\mathrm{this}\:\mathrm{can}\:\mathrm{not}\:\mathrm{explain}\:\mathrm{that}\:\mathrm{equality}\:\mathrm{holds}\:\mathrm{iff}\:\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{0},\mathrm{0},\mathrm{1}\right) \\ $$

Answered by 1549442205PVT last updated on 03/Jun/21

i)if (a,b,c)∈A={(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)} we have equality occurs if one of three numbers equal to zero for example c=0 then we need prove for a+b=1:(1/(a^2 +1))+(1/(b^2 +1))≥(3/2) ⇔ 2(a^2 +b^2 +2)≥3(a^2 b^2 +a^2 +b^2 +1)⇔ 3a^2 b^2 +a^2 +b^2 ≤1=(a+b)^2 =a^2 +b^2 +2ab ⇔3a^2 b^2 −2ab≤0⇔ab(3ab−2)≤0 that is true because 3ab≤4ab≤(a+b)^2 =1<2 ii)Consider a,b,c−≠0.Then (1/(a^2 +1))+(1/(b^2 +1))+(1/(c^2 +1)) ≥ (5/2)⇔ −( (1/(a^2 +1))+(1/(b^2 +1))+(1/(c^2 +1))) ≤− (5/2)⇔ 3−( (1/(a^2 +1))+(1/(b^2 +1))+(1/(c^2 +1)))≤3− (5/2)⇔ (a^2 /(a^2 +1))+(b^2 /(b^2 +1))+(c^2 /(c^2 +1))≤(1/2)(2) L.H.S(2)≤(a^2 /(2a))+(b^2 /(2b))+(c^2 /(2c))=((a+b+c)/2)=(1/2) ⇔ (1/(a^2 +1))+(1/(b^2 +1))+(1/(c^2 +1)) ≥ (5/2)(q.e.d) The equality occurs if and if (a,b,c)∈A

$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{if}\:\left(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\in\mathrm{A}=\left\{\left(\mathrm{0},\mathrm{0},\mathrm{1}\right),\left(\mathrm{0},\mathrm{1},\mathrm{0}\right),\left(\mathrm{1},\mathrm{0},\mathrm{0}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{equality}\:\mathrm{occurs} \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{one}\:\mathrm{of}\:\mathrm{three}\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{equal}\:\mathrm{to}\:\mathrm{zero} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{example}\:\mathrm{c}=\mathrm{0}\:\mathrm{then}\:\mathrm{we}\:\mathrm{need}\:\mathrm{prove} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{1}:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\geqslant\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\geqslant\mathrm{3}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{3a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \leqslant\mathrm{1}=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2ab} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{3a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ab}\leqslant\mathrm{0}\Leftrightarrow\mathrm{ab}\left(\mathrm{3ab}−\mathrm{2}\right)\leqslant\mathrm{0}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{true}\:\mathrm{because}\:\mathrm{3ab}\leqslant\mathrm{4ab}\leqslant\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}<\mathrm{2} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{Consider}\:\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}−\neq\mathrm{0}.\mathrm{Then} \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\geqslant\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\Leftrightarrow \\ $$$$−\left(\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\:\leqslant−\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\Leftrightarrow \\ $$$$\mathrm{3}−\left(\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\leqslant\mathrm{3}−\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\Leftrightarrow \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }{{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}\left(\mathrm{2}\right)\leqslant\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2a}}+\frac{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2b}}+\frac{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2c}}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:\geqslant\:\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{q}.\mathrm{e}.\mathrm{d}\right) \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{equality}\:\mathrm{occurs}\:\mathrm{if}\:\mathrm{and}\:\mathrm{if}\:\left(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\in\mathrm{A} \\ $$

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