Question Number 143230 by qaz last updated on 11/Jun/21
$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}=? \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 11/Jun/21
![f(x)=Σ_(n=o) ^∞ (x^(3n+1) /(3n+1)) ⇒f^′ (x)=Σ_(n=0) ^∞ x^(3x) =(1/(1−x^3 )) if ∣x∣<1 ⇒ f(x)=∫_0 ^x (dt/(1−t^3 )) +c but c=f(0)=0 ⇒f(x)=∫_0 ^x (dt/(1−t^3 )) let H(t)=(1/(t^3 −1)) ⇒H(t)=(1/((t−1)(t^2 +t+1)))=(a/(t−1))+((bt+c)/(t^2 +t+1)) a=(1/3) ,lim_(t→+∞) tH(t)=0 =a+b ⇒b=−(1/3) H(0)=−1=−a+c ⇒c=a−1=−(2/3) ⇒H(x)=(1/(3(t−1)))+((−(1/3)t−(2/3))/(t^2 +t+1)) ⇒f(x)=∫_0 ^x (−(1/(3(t−1)))+(1/3)((t+2)/(t^2 +t+1)))dt =−(1/3)∫_0 ^x (dt/(t−1)) +(1/6)∫_0 ^x ((2t+1+3)/(t^2 +t+1))dt =−(1/3)[log∣t−1∣]_0 ^x +(1/6)[log(t^2 +t+1)]_0 ^x +(1/2)∫_0 ^x (dt/(t^(2 ) +t+1)) =−(1/3)log∣x−1∣+(1/6)log(x^2 +x+1)+(1/2)∫_0 ^x (dt/(t^2 +t+1)) we have ∫_0 ^x (dt/(t^2 +t+1))=∫_0 ^x (dt/((t+(1/2))^2 +(3/4))) =_(t+(1/2)=((√3)/2)y) (4/3) ∫_(1/( (√3))) ^((2x+1)/( (√3))) (1/(y^2 +1)).((√3)/2)dy =(2/( (√3)))[arctany]_(1/( (√3))) ^((2x+1)/( (√3))) =(2/( (√3)))(arctan(((2x+1)/( (√3))))−arctan((1/( (√3))))) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ (x^(3n+1) /(3n+1))=−(1/3)log∣x−1∣+(1/6)log(x^2 +x+1)+(1/( (√3)))(arctan(((2x+1)/( (√3))))−(π/6))−x](Q143236.png)
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{o}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{3x}} \:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\:\mathrm{if}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }\:+\mathrm{c}\:\:\mathrm{but}\:\mathrm{c}=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{H}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{1}}\:\Rightarrow\mathrm{H}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{bt}+\mathrm{c}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:,\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow+\infty} \mathrm{tH}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{H}\left(\mathrm{0}\right)=−\mathrm{1}=−\mathrm{a}+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{a}−\mathrm{1}=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\mathrm{H}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)}+\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{t}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\frac{\mathrm{t}+\mathrm{2}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{2t}+\mathrm{1}+\mathrm{3}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left[\mathrm{log}\mid\mathrm{t}−\mathrm{1}\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\left[\mathrm{log}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}\:} +\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{log}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{log}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}+\mathrm{1}}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{x}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}} \\ $$$$=_{\mathrm{t}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{y}} \:\:\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}} ^{\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}.\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{dy}\:=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left[\mathrm{arctany}\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}} ^{\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3n}+\mathrm{1}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\mathrm{log}\mid\mathrm{x}−\mathrm{1}\mid+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{log}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)−\mathrm{x} \\ $$
Answered by mr W last updated on 11/Jun/21
$${for}\:\mid{x}\mid<\mathrm{1}: \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}{x}^{\mathrm{3}{n}} =\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} {x}^{\mathrm{3}{n}} {dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{3}} }−\mathrm{1}\right){dx} \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}}=\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} \frac{{dx}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{3}} }−{x} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{{x}^{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{ln}\:\frac{{x}^{\mathrm{2}} +{x}+\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)−{x} \\ $$