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Question Number 143259 by Mathspace last updated on 12/Jun/21

$$solve{y}^{{}^{″}}-y^{{}^{\prime }}+2=xsin\left(3x\right)$$

Answered by qaz last updated on 12/Jun/21

$${\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}=\frac{1}{{\mathrm{D}}^2-\mathrm{D}}[\mathrm{xsin}\left(3\mathrm{x}\right)-2]$$$$=\frac{1}{\mathrm{D}-1}(-\frac{1}{3}\mathrm{xcos}3\mathrm{x}+\frac{1}{9}\sin 3\mathrm{x}-2\mathrm{x})$$$$=-\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{\mathrm{D}-1}\left(\mathrm{xcos}3\mathrm{x}\right)+\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{\mathrm{D}-1}\left(\sin 3\mathrm{x}\right)+2\mathrm{x}+2$$$$=-\frac{1}{3}(\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{D}-1})\frac{1}{\mathrm{D}-1}\cos 3\mathrm{x}+\frac{1}{9}\cdot \frac{\mathrm{D}+1}{(-3^2)-1}\sin 3\mathrm{x}+2\mathrm{x}+2$$$$=-\frac{1}{3}(\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{D}-1})\frac{\mathrm{D}+1}{(-3^2)-1}\cos 3\mathrm{x}-\frac{1}{90}(3\cos 3\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x})+2\mathrm{x}+2$$$$=\frac{1}{30}(\mathrm{x}-\frac{1}{\mathrm{D}-1})(-3\sin 3\mathrm{x}+\cos 3\mathrm{x})-\frac{1}{90}(3\cos 3\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x})+2\mathrm{x}+2$$$$=\frac{1}{30}[-3\mathrm{xsin}3\mathrm{x}+\mathrm{xcos}3\mathrm{x}+\frac{1+\mathrm{D}}{10}(-3\sin 3\mathrm{x}+\cos 3\mathrm{x})]-\frac{1}{90}(3\cos 3\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x})+2\mathrm{x}+2$$$$=\frac{1}{30}[-3\mathrm{xsin}3\mathrm{x}+\mathrm{xcos}3\mathrm{x}-\frac{4\cos 3\mathrm{x}+3\sin 3\mathrm{x}}{5}]-\frac{1}{90}(3\cos 3\mathrm{x}+\sin 3\mathrm{x})+2\mathrm{x}+2$$$$=-\frac{1}{10}\mathrm{xsin}3\mathrm{x}+\frac{1}{30}\mathrm{xcos}3\mathrm{x}-\frac{3}{50}\cos 3\mathrm{x}-\frac{7}{225}\sin 3\mathrm{x}+2\mathrm{x}+2$$$$\Rightarrow \mathrm{y}={\mathrm{C}}_1+{\mathrm{C}}_2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-\frac{1}{10}\mathrm{xsin}3\mathrm{x}+\frac{1}{30}\mathrm{xcos}3\mathrm{x}-\frac{3}{50}\cos 3\mathrm{x}-\frac{7}{225}\sin 3\mathrm{x}+2\mathrm{x}$$$$-------------------$$$${\mathrm{y}}_{\mathrm{p}}=\frac{1}{{\mathrm{D}}^2-\mathrm{D}}(\mathrm{xsin}3\mathrm{x}-2)$$$$=(\mathrm{x}-\frac{2\mathrm{D}-1}{{\mathrm{D}}^2-\mathrm{D}})\frac{1}{{\mathrm{D}}^2-\mathrm{D}}\left(\sin 3\mathrm{x}\right)-\frac{1}{\mathrm{D}-1}\left(2\mathrm{x}\right)$$$$=(\mathrm{x}-\frac{2\mathrm{D}-1}{{\mathrm{D}}^2-\mathrm{D}})\frac{{\mathrm{D}}^2+\mathrm{D}}{{(-3^2)}^2-(-3^2)}\left(\sin 3\mathrm{x}\right)+2\mathrm{x}+2$$$$=\frac{1}{90}(\mathrm{x}-\frac{2\mathrm{D}-1}{{\mathrm{D}}^2-\mathrm{D}})(3\cos 3\mathrm{x}-9\sin 3\mathrm{x})+2\mathrm{x}+2$$$$=\frac{\mathrm{x}}{30}(\cos 3\mathrm{x}-3\sin 3\mathrm{x})-\frac{1}{30}\cdot \frac{2\mathrm{D}-1}{{\mathrm{D}}^2-\mathrm{D}}(\cos 3\mathrm{x}-3\sin 3\mathrm{x})+2\mathrm{x}+2$$$$=\frac{\mathrm{x}}{30}(\cos 3\mathrm{x}-3\sin 3\mathrm{x})-\frac{1}{30}\cdot \frac{(2\mathrm{D}-1)({\mathrm{D}}^2+\mathrm{D})}{{(-3^2)}^2-(-3^2)}(\cos 3\mathrm{x}-3\sin 3\mathrm{x})+2\mathrm{x}+2$$$$=\frac{\mathrm{x}}{30}(\cos 3\mathrm{x}-3\sin 3\mathrm{x})-\frac{1}{450}(2\mathrm{D}-1)(4\sin 3\mathrm{x}-3\cos 3\mathrm{x})+2\mathrm{x}+2$$$$=\frac{\mathrm{x}}{30}(\cos 3\mathrm{x}-3\sin 3\mathrm{x})-\frac{1}{450}(27\cos 3\mathrm{x}+14\sin 3\mathrm{x})+2\mathrm{x}+2$$$$\Rightarrow \mathrm{y}={\mathrm{C}}_1+{\mathrm{C}}_2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{x}}{30}(\cos 3\mathrm{x}-3\sin 3\mathrm{x})-\frac{1}{450}(27\cos 3\mathrm{x}+14\sin 3\mathrm{x})+2\mathrm{x}$$

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