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Question Number 143262 by Mathspace last updated on 12/Jun/21

developp at fourier serie f(x)=(1/(cosx +2sinx))

$${developp}\:{at}\:{fourier}\:{serie} \\ $$$${f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{cosx}\:+\mathrm{2}{sinx}} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 13/Jun/21

f(x)=(1/(cosx+2sinx)) ⇒f(x)=(1/(((e^(ix) +e^(−ix) )/2)+2 ((e^(ix) −e^(−ix) )/(2i)))) =(2/(e^(ix) +e^(−ix) −2i(e^(ix) −e^(−ix) ))) =(2/(e^(ix) −2ie^(ix) +e^(−ix) +2ie^(−ix) )) =(2/((1−2i)e^(ix) +(1+2i)e^(−ix) )) =_(e^(ix) =z) (2/((1−2i)z+(1+2i)(1/z))) =((2z)/((1−2i)z^2 +(1+2i))) =(2/(1−2i))×(z/(z^2 +((1+2i)/(1−2i)))) we have ((1+2i)/(1−2i))=(((1+2i)^2 )/5)=((1+4i−4)/5)=((−3+4i)/5) ⇒ f(x)=(2/(1−2i))×(z/(z^2 +((−3+4i)/5))) =((2z)/((1−2i)(z^2 −((3−4i)/5)))) =((2z)/((−1+2i)(((3−4i)/5)−z^2 )))=((−2z)/((1−2i)(((√((3−4i)/5)))^2 −z^2 ))) =((−2z)/((1−2i)((√((3−4i)/5))−z)((√((3−4i)/5))+z))) ∣((3−4i)/5)∣=(1/5)(√(9+16))=1 ⇒((3−4i)/5)=e^(iarctan(−(4/3))) ⇒ f(x)=((−2z)/((1−2i)(e^(−iarctan((2/3))) −z)(e^(−iarctan((2/3))) +z))) =((−1)/((1−2i)))((1/(e^(−iarctan((2/3))) −z))−(1/(e^(−iarctan((2/3))) +z))) =((−1)/((1−2i))){(e^(iarctan((2/3))) /(1−e^(iarctan((2/3))) z))−(e^(iarctan((2/3))) /(1+e^(iarctan((2/3))) z))} so for ∣e^(iarctan((2/3))) z∣<1 we get f(x)=−(1/(1−2i))e^(iarctan((2/3))) (Σ_(n=0) ^∞ e^(inarctan((2/3))) z^n −Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n e^(inarctan((2/3))) z^n ) =−((1+2i)/5)e^(iarctan((2/3))) Σ_(n=0) ^∞ (1−(−1)^n ) e^(inarctan((2/3))) z^n =−((1+2i)/5)e^(iarctan((2/3))) 2Σ_(p=0) ^∞ e^(i(2p+1)arctan((2/3))) z^(2p+1) =−(2/5)(1+2i)e^(iarctan((2/3))) Σ_(p=0) ^∞ e^(i(2p+1)arctan((2/3))) e^(i(2p+1)x)

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cosx}+\mathrm{2sinx}}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} +\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }{\mathrm{2i}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} \:−\mathrm{2i}\left(\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} \right)}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} −\mathrm{2ie}^{\mathrm{ix}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} \:+\mathrm{2ie}^{−\mathrm{ix}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} \:+\left(\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{ix}} }\:=_{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} =\mathrm{z}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)\mathrm{z}+\left(\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2z}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{2i}}×\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2i}}{\mathrm{1}−\mathrm{2i}}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2i}}{\mathrm{1}−\mathrm{2i}}=\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{5}}=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{4i}−\mathrm{4}}{\mathrm{5}}=\frac{−\mathrm{3}+\mathrm{4i}}{\mathrm{5}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{2i}}×\frac{\mathrm{z}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\frac{−\mathrm{3}+\mathrm{4i}}{\mathrm{5}}}\:=\frac{\mathrm{2z}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}−\mathrm{4i}}{\mathrm{5}}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2z}}{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\left(\frac{\mathrm{3}−\mathrm{4i}}{\mathrm{5}}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right)}=\frac{−\mathrm{2z}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)\left(\left(\sqrt{\frac{\mathrm{3}−\mathrm{4i}}{\mathrm{5}}}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{2z}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)\left(\sqrt{\frac{\mathrm{3}−\mathrm{4i}}{\mathrm{5}}}−\mathrm{z}\right)\left(\sqrt{\frac{\mathrm{3}−\mathrm{4i}}{\mathrm{5}}}+\mathrm{z}\right)} \\ $$$$\mid\frac{\mathrm{3}−\mathrm{4i}}{\mathrm{5}}\mid=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\sqrt{\mathrm{9}+\mathrm{16}}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{3}−\mathrm{4i}}{\mathrm{5}}=\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{−\mathrm{2z}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} −\mathrm{z}\right)\left(\mathrm{e}^{−\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} +\mathrm{z}\right)} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{−\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} −\mathrm{z}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{−\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} +\mathrm{z}}\right) \\ $$$$=\frac{−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)}\left\{\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} }{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} \mathrm{z}}−\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} }{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} \mathrm{z}}\right\} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{for}\:\mid\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} \mathrm{z}\mid<\mathrm{1}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{2i}}\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} \left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\mathrm{inarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} \mathrm{z}^{\mathrm{n}} −\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{inarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} \mathrm{z}^{\mathrm{n}} \right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2i}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} \sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \right)\:\mathrm{e}^{\mathrm{inarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} \:\mathrm{z}^{\mathrm{n}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}+\mathrm{2i}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} \mathrm{2}\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2p}+\mathrm{1}\right)\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} \:\mathrm{z}^{\mathrm{2p}+\mathrm{1}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} \:\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2p}+\mathrm{1}\right)\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{2p}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \\ $$

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