Question Number 143293 by Huy last updated on 12/Jun/21
$${f}\left({x}\right)={ln}\left(\mathrm{1}+{ln}\left({x}\right)\right). \\ $$$${f}\left({x}\right)={ln}\left({f}'\left({x}\right)\right).{Find}\:{x} \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 12/Jun/21
$${f}\left({x}\right)\:=\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{ln}{x}\right) \\ $$$${f}'\left({x}\right)\:=\:\frac{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}{\mathrm{1}+\mathrm{ln}{x}} \\ $$$${f}\left({x}\right)\:=\:\mathrm{ln}\left({f}'\left({x}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{ln}{x}\right)\:=\:\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{ln}{x}\right)}\right) \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{ln}{x}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{ln}{x}\right)} \\ $$$${x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{ln}{x}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{1} \\ $$$${x}\:=\:\mathrm{1}\:\mathrm{is}\:\mathrm{an}\:\mathrm{evident}\:\mathrm{solution} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 12/Jun/21
![f(x)=log(1+logx) we have 1+logx>0 ⇒logx>−1 ⇒x>e^(−1) f is defined on]e^(−1) ,+∞[ f(x)=log(f^′ (x)) ⇒log(1+logx)=log((1/(x(1+logx)))) ⇒ 1+logx=(1/(x(1+logx))) ⇒x(1+logx)^2 =1 ⇒ x(1+2logx +log^2 x)−1=0 ⇒xlog^2 x+2xlogx+x−1=0=Ψ(x) Ψ(x)=xlog^2 x+2xlogx+x−1 ⇒ Ψ^′ (x)=log^2 x+2logx +2logx +2+1 =log^2 x+4logx +3 =u^2 +4u+3 (u=logx) Δ^′ =2^2 −3=1 ⇒logx=−2+1 or logx=−2−1 ⇒x=e^(−1) or x=e^(−3) x e^(−3) e^(−1) +∞ Ψ^′ 0 − 0 + Ψ decr incr +∞ Ψ is decreazing onI=](1/e^3 ),(1/e)[ ⇒∃!x_0 ∈I /Ψ(x_0 )=0 Ψ is increazing onJ=](1/e),+∞[ ⇒∃!y_0 ∈ J / Ψ(y_0 )=0 we see that Ψ(1)=0 ⇒y_0 =1 we can determine x_0 by newton method...](Q143316.png)
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{logx}\right)\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{1}+\mathrm{logx}>\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{logx}>−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}>\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\left.\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{defined}\:\mathrm{on}\right]\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:,+\infty\left[\right. \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{log}\left(\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\right)\:\Rightarrow\mathrm{log}\left(\mathrm{1}+\mathrm{logx}\right)=\mathrm{log}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{logx}\right)}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{1}+\mathrm{logx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{logx}\right)}\:\Rightarrow\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{logx}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2logx}\:+\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{xlog}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{2xlogx}+\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{0}=\Psi\left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Psi\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{xlog}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{2xlogx}+\mathrm{x}−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\Psi^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{2logx}\:+\mathrm{2logx}\:+\mathrm{2}+\mathrm{1}\:=\mathrm{log}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{4logx}\:+\mathrm{3} \\ $$$$=\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4u}+\mathrm{3}\:\left(\mathrm{u}=\mathrm{logx}\right) \\ $$$$\Delta^{'} \:=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{logx}=−\mathrm{2}+\mathrm{1}\:\mathrm{or}\:\mathrm{logx}=−\mathrm{2}−\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:\mathrm{or}\:\mathrm{x}=\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{x}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{3}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$$$\Psi^{'} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:−\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+ \\ $$$$\Psi\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{decr}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{incr}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\infty \\ $$$$\left.\Psi\:\mathrm{is}\:\mathrm{decreazing}\:\mathrm{onI}=\right]\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}^{\mathrm{3}} },\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}\left[\:\:\Rightarrow\exists!\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \in\mathrm{I}\:/\Psi\left(\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \right)=\mathrm{0}\right. \\ $$$$\left.\Psi\:\mathrm{is}\:\mathrm{increazing}\:\:\mathrm{onJ}=\right]\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}},+\infty\left[\:\Rightarrow\exists!\mathrm{y}_{\mathrm{0}} \in\:\mathrm{J}\:/\:\Psi\left(\mathrm{y}_{\mathrm{0}} \right)=\mathrm{0}\right. \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{see}\:\mathrm{that}\:\Psi\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{0}} =\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{can}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} \mathrm{by}\:\mathrm{newton}\:\mathrm{method}... \\ $$