Question Number 143728 by Dwaipayan Shikari last updated on 17/Jun/21
$$\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\left\{{x}\right\}}{{x}^{\mathrm{3}} }{dx}=\mathrm{1}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Jun/21
![I=∫_1 ^∞ (({x})/x^3 )dx =∫_1 ^∞ ((x−[x])/x^3 )dx=∫_1 ^∞ (dx/x^2 )−∫_1 ^∞ (([x])/x^3 )dx =[−(1/x)]_1 ^∞ −∫_1 ^∞ (([x])/x^3 )dx=1−∫_1 ^∞ (([x])/x^3 )dx we have ∫_1 ^∞ (([x])/x^3 )dx =Σ_(n=1) ^∞ ∫_n ^(n+1) (n/x^3 )dx =Σ_(n=1) ^∞ n[(1/(−3+1))x^(−3+1) ]_n ^(n+1) =Σ_(n=1) ^∞ n[−(1/(2x^2 ))]_n ^(n+1) =−(1/2)Σ_(n=1) ^∞ n{(1/n^2 )−(1/((n+1)^2 ))} =−(1/2)Σ_(n=1) ^∞ n×(((n+1)^2 −n^2 )/(n^2 (n+1)^2 ))=−(1/2)Σ_(n=1) ^∞ ((2n+1)/(n(n+1)^2 )) ((2x+1)/(x(x+1)^2 ))=(a/x)+(b/(x+1))+(c/((x+1)^2 )) a=1 ,c=1 lim_(x→+∞) xf(x)=0 =a+b ⇒b=−1 ⇒ ((2n+1)/(n(n+1)^2 ))=(1/n)−(1/(n+1)) +(1/((n+1)^2 )) ⇒ Σ_(n=1) ^∞ ((2n+1)/(n(n+1)^2 ))=Σ_(n=1) ^∞ ((1/n)−(1/(n+1)))+Σ_(n=1) ^∞ (1/((n+1)^2 )) =lim_(n→+∞) Σ_(k=1) ^n ((1/k)−(1/(k+1)))+Σ_(n=2) ^∞ (1/n^2 ) =1+(π^2 /6)−1 =(π^2 /6) ⇒I =−(1/2)((π^2 /6))=−(π^2 /(12))](Q143737.png)
$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left\{\mathrm{x}\right\}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{x}−\left[\mathrm{x}\right]}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left[\mathrm{x}\right]}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right]_{\mathrm{1}} ^{\infty} −\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left[\mathrm{x}\right]}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx}=\mathrm{1}−\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left[\mathrm{x}\right]}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left[\mathrm{x}\right]}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\mathrm{dx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left[\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{3}+\mathrm{1}}\mathrm{x}^{−\mathrm{3}+\mathrm{1}} \right]_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{n}\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }\right]_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{n}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{n}×\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{2x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{c}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{a}=\mathrm{1}\:,\mathrm{c}=\mathrm{1}\:\:\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xf}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:\Rightarrow\mathrm{b}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right)+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\right)+\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{2}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{1}+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{1}\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\right)=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 17/Jun/21
$$\mathrm{I}=\mathrm{1}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$
Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 17/Jun/21
$${Thanks}\:{sir} \\ $$