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Question Number 144201 by bramlexs22 last updated on 23/Jun/21

Find the equations of the circles passing through (−4,3) and touching the lines x+y=2 and x−y=2

$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equations}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circles} \\ $$$$\mathrm{passing}\:\mathrm{through}\:\left(−\mathrm{4},\mathrm{3}\right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{touching} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{lines}\:\mathrm{x}+\mathrm{y}=\mathrm{2}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}−\mathrm{y}=\mathrm{2} \\ $$

Answered by benjo_mathlover last updated on 23/Jun/21

let the equation of circle be x^2 +y^2 +2gx+2fy+c =0...(i) it passes through (−4,3) therefore 25−8g+6f+c =0...(ii) since circle touches the lines { ((x+y−2=0)),((x−y−2=0)) :} ⇒ then ∣((−g−f−2)/( (√2)))∣=∣((−g+f−2)/( (√2)))∣=(√(g^2 +f^2 −c)) ...(iii) Now ∣((−g−f−2)/( (√2)))∣=∣((−g+f−2)/( (√2)))∣ we get f=0 or g=−2 case(1) for f=0 ⇒∣((−g−2)/( (√2)))∣=(√(g^2 −c)) ⇒(g+2)^2 =2(g^2 −c) ⇒g^2 −4g−2c−4=0...(iv) putting f=0 in (ii) gives 25−8g+c=0...(v) eliminaring c between (iv)&(v) g^2 −20g+46=0 ; g=10±3(√6) substituting the value of g in (v) we find c=55±24(√6) so the eq of circle is x^2 +y^2 ±2(10±3(√6))x+(55±24(√6))=0

$$\mathrm{let}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{be}\: \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2gx}+\mathrm{2fy}+\mathrm{c}\:=\mathrm{0}...\left(\mathrm{i}\right) \\ $$$$\mathrm{it}\:\mathrm{passes}\:\mathrm{through}\:\left(−\mathrm{4},\mathrm{3}\right)\:\mathrm{therefore} \\ $$$$\:\mathrm{25}−\mathrm{8g}+\mathrm{6f}+\mathrm{c}\:=\mathrm{0}...\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$\mathrm{since}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{touches}\:\mathrm{the}\:\mathrm{lines}\: \\ $$$$\:\begin{cases}{\mathrm{x}+\mathrm{y}−\mathrm{2}=\mathrm{0}}\\{\mathrm{x}−\mathrm{y}−\mathrm{2}=\mathrm{0}}\end{cases}\:\Rightarrow\:\mathrm{then}\: \\ $$$$\:\mid\frac{−\mathrm{g}−\mathrm{f}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mid=\mid\frac{−\mathrm{g}+\mathrm{f}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mid=\sqrt{\mathrm{g}^{\mathrm{2}} +\mathrm{f}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}}\:...\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$$$\mathrm{Now}\:\mid\frac{−\mathrm{g}−\mathrm{f}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mid=\mid\frac{−\mathrm{g}+\mathrm{f}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mid \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{f}=\mathrm{0}\:\mathrm{or}\:\mathrm{g}=−\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{case}\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{for}\:\mathrm{f}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mid\frac{−\mathrm{g}−\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mid=\sqrt{\mathrm{g}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{g}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}\left(\mathrm{g}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4g}−\mathrm{2c}−\mathrm{4}=\mathrm{0}...\left(\mathrm{iv}\right) \\ $$$$\mathrm{putting}\:\mathrm{f}=\mathrm{0}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{gives}\:\mathrm{25}−\mathrm{8g}+\mathrm{c}=\mathrm{0}...\left(\mathrm{v}\right) \\ $$$$\:\mathrm{eliminaring}\:\mathrm{c}\:\mathrm{between}\:\left(\mathrm{iv}\right)\&\left(\mathrm{v}\right) \\ $$$$\mathrm{g}^{\mathrm{2}} −\mathrm{20g}+\mathrm{46}=\mathrm{0}\:;\:\mathrm{g}=\mathrm{10}\pm\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{substituting}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{g}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{v}\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{find}\:\mathrm{c}=\mathrm{55}\pm\mathrm{24}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{eq}\:\mathrm{of}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{is}\: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \pm\mathrm{2}\left(\mathrm{10}\pm\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{6}}\right)\mathrm{x}+\left(\mathrm{55}\pm\mathrm{24}\sqrt{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$

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