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Question Number 144525 by imjagoll last updated on 26/Jun/21

If y=cosh (x^2 −3x+1) (d^2 y/dx^2 ) =?

$$\:\mathrm{If}\:\mathrm{y}=\mathrm{cosh}\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }\:=? \\ $$

Answered by EDWIN88 last updated on 26/Jun/21

let q = x^2 −3x+1 →y=cosh q (dy/dx)=(dy/dq).(dq/dx)= (sinh q)(2x−3) = (2x−3)sinh (x^2 −3x+1) (d^2 y/dx^2 )=(d/dx)((dy/dx))=(d/dx)(sinh q (dq/dx)) = sinh q (d^2 q/dx^2 )+cosh q ((dq/dx))^2 = 2sinh q+(2x−3)^2 cosh q = 2sinh (x^2 −3x+2)+(2x−3)^2 cosh (x^2 −3x+1)

$$\:\mathrm{let}\:\mathrm{q}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}\:\rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{cosh}\:\mathrm{q} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dq}}.\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dx}}=\:\left(\mathrm{sinh}\:\mathrm{q}\right)\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\:\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{sinh}\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\mathrm{sinh}\:\mathrm{q}\:\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dx}}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\:\mathrm{sinh}\:\mathrm{q}\:\frac{\mathrm{d}^{\mathrm{2}} \mathrm{q}}{\mathrm{dx}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{cosh}\:\mathrm{q}\:\left(\frac{\mathrm{dq}}{\mathrm{dx}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\:\mathrm{2sinh}\:\mathrm{q}+\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{cosh}\:\mathrm{q} \\ $$$$\:\:\:\:=\:\mathrm{2sinh}\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{2}\right)+\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{cosh}\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}\right) \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Jun/21

y(x)=ch(x^2 −3x+1) =((e^(x^2 −3x+1) +e^(−x^2 +3x−1) )/2) ⇒ y^′ (x)=(1/2)((2x−3)e^(x^2 −3x+1) +(−2x+3)e^(−x^2 +3x−1) ) ⇒ y^((2)) (x)=(1/2){2e^(x^2 −3x+1) +(2x−3)^2 e^(x^2 −3x+1) −2e^(−x^2 +3x−1) +(−2x+3)^2 e^(−x^2 +3x−1) } =(1/2){(11+4x^2 −12x)e^(x^2 −3x+1) +(7+4x^2 −12x)e^(−x^2 +3x−1) }

$$\mathrm{y}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{ch}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}} \:+\left(−\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}−\mathrm{1}} \right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}^{\left(\mathrm{2}\right)} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\mathrm{2e}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}} \:+\left(\mathrm{2x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}} \:−\mathrm{2e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}−\mathrm{1}} +\left(−\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}−\mathrm{1}} \right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left\{\left(\mathrm{11}+\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3x}+\mathrm{1}} \:\:+\left(\mathrm{7}+\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12x}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3x}−\mathrm{1}} \right\} \\ $$

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