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Question Number 144738 by Ar Brandon last updated on 28/Jun/21

On souhaite calculer I=∫_0 ^∞ ((sint)/t)dt. (1) On de^� finit la fonction F(x)=∫_0 ^∞ e^(−tx) ((sint)/t)dt. (a) De^� terminer le domaine de de^� finition de f sur R. (b) Montrer que F est de classe C^1 sur R_+ ^∗ et calculer F ′(x). (c) Limite de F en +∞ ? Conse^� quence ? (2) On note Si(t)=∫_0 ^t ((sinu)/u)du pour tout re^� el t. (a) Montrer que G(x)=∫_0 ^∞ e^(−tx) Si(t)dt est de^� finie sur R_+ ^∗ . (b) Montrer que xG(x)→I quand x→0^+ . (c) Au moyen d′une inte^� gration par parties, montrer que F est continue en 0. (3) Calculer I.

OnsouhaitecalculerI=∫0∞sinttdt.(1)Ondefinit´lafonctionF(x)=∫0∞e−txsinttdt.(a)Determiner´ledomainededefinition´defsurR.(b)MontrerqueFestdeclasseC1surR+∗etcalculerF′(x).(c)LimitedeFen+∞?Consequence´?(2)OnnoteSi(t)=∫0tsinuudupourtoutreel´t.(a)MontrerqueG(x)=∫0∞e−txSi(t)dtestdefinie´surR+∗.(b)MontrerquexG(x)→Iquandx→0+.(c)Aumoyend′uneintegration´parparties,montrerqueFestcontinueen0.(3)CalculerI.

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 28/Jun/21

F(x)=∫_0 ^∞ e^(−tx) ((sin (t))/t)dx F′(x)=−∫_0 ^∞ e^(−tx) sin (t)dt=−(1/(x^2 +1)) F(x)=−arctan (x)+C F(∞)=−(π/2)+C⇒0=−(π/2)+C⇒C=(π/2) F(x)=arctan ((1/x)) But x>0 if x=−X then ∫_0 ^∞ e^(tX) ((sin (t))/t)→∞ 0≤x<∞

F(x)=∫0∞e−txsin(t)tdxF′(x)=−∫0∞e−txsin(t)dt=−1x2+1F(x)=−arctan(x)+CF(∞)=−π2+C⇒0=−π2+C⇒C=π2F(x)=arctan(1x)Butx>0ifx=−Xthen∫0∞etXsin(t)t→∞0⩽x<∞

Commented by Ar Brandon last updated on 02/Aug/21

Hello bro !!!

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