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Question Number 144781 by imjagoll last updated on 29/Jun/21
Answered by liberty last updated on 29/Jun/21
$$\:\mid\mathrm{PF}_{\mathrm{1}} \mid+\mid\mathrm{PF}_{\mathrm{2}} \mid=\mathrm{2a}\:=\mathrm{6}\:,\:\mathrm{by}\:\mathrm{definition} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{an}\:\mathrm{ellipse}.\:\mathrm{Since}\:\mid\mathrm{PF}_{\mathrm{1}} \mid:\mid\mathrm{PF}_{\mathrm{2}} \mid=\mathrm{2}:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\begin{cases}{\mid\mathrm{PF}_{\mathrm{1}} \mid=\mathrm{4}}\\{\mid\mathrm{PF}_{\mathrm{2}} \mid=\mathrm{2}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{notice}\:\mathrm{that}\:\mid\mathrm{F}_{\mathrm{1}} \mathrm{F}_{\mathrm{2}} \mid=\mathrm{2c}\:=\:\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mid\mathrm{PF}_{\mathrm{1}} \mid^{\mathrm{2}} +\mid\mathrm{PF}_{\mathrm{2}} \mid^{\mathrm{2}} =\mid\mathrm{F}_{\mathrm{1}} \mathrm{F}_{\mathrm{2}} \mid^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{it}\:\mathrm{follows}\:\mathrm{that}\:\bigtriangleup\mathrm{PF}_{\mathrm{1}} \mathrm{F}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{right} \\ $$$$\mathrm{triangle}\:\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{area}\:\mathrm{of}\:\bigtriangleup\mathrm{PF}_{\mathrm{1}} \mathrm{F}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\mathrm{4}×\mathrm{2}=\mathrm{4}. \\ $$