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Question Number 144925 by qaz last updated on 30/Jun/21

Σ_(n=1) ^∞ (((2n)!!)/(2^n ∙(n+1)∙(2n+1)!!))=?

$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{2n}\right)!!}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \centerdot\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\centerdot\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}=? \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 30/Jun/21

(2n)!!=2n(2n−2)(2n−4)...=2^n n(n−1)(n−2)...=2^n n! (2n+1)!!=(2n+1)(2n−1)...=(((2n+1)(2n)(2n−1)(2n−2)...)/((2n)(2n−2)...))=(((2n+1)!)/(2^n n!)) S(n)=Σ_(n=1) ^∞ (((2n)!!)/(2^n (n+1)(2n+1)!!))=Σ_(n=1) ^∞ (((2^n n!)^2 )/(2^n (n+1)(2n+1)!)) =Σ_(n=1) ^∞ ((2^n (n!)^2 )/((n+1)(2n+1)!))=Σ_(n=1) ^∞ (2^n /(n+1))β(n+1,n+1) =∫_0 ^1 Σ_(n=1) ^∞ (2^n /(n+1))x^n (1−x)^n dx=∫_0 ^1 Σ_(n=0) ^∞ (((2x−2x^2 )^n )/(n+1))dx−1 y(t)=Σ_(n=0) ^∞ t^n =(1/(1−t))⇒∫_0 ^t y(t)dt=Σ_(n=0) ^∞ (t^(n+1) /(n+1))=∫_0 ^t (1/(1−t))dt=ln((1/(1−t))) S(n)=∫_0 ^1 ((ln(2x^2 −2x+1))/(2x^2 −2x))dx−1

$$\left(\mathrm{2n}\right)!!=\mathrm{2n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2n}−\mathrm{4}\right)...=\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{n}\left(\mathrm{n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}−\mathrm{2}\right)...=\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{n}! \\ $$$$\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!=\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)...=\frac{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}\right)\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)...}{\left(\mathrm{2n}\right)\left(\mathrm{2n}−\mathrm{2}\right)...}=\frac{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{n}!} \\ $$$$\mathrm{S}\left(\mathrm{n}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{2n}\right)!!}{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!!}=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \mathrm{n}!\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{n}!\right)^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!}=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\beta\left(\mathrm{n}+\mathrm{1},\mathrm{n}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{2x}−\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{dx}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{y}\left(\mathrm{t}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{t}^{\mathrm{n}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{t}} \mathrm{y}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{t}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\mathrm{dt}=\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{t}}\right) \\ $$$$\mathrm{S}\left(\mathrm{n}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}}\mathrm{dx}−\mathrm{1} \\ $$

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