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Question Number 144985 by imjagoll last updated on 01/Jul/21

$$\int \frac{(2+\sqrt{\mathrm{x}})}{{(\mathrm{x}+1+\sqrt{\mathrm{x}})}^2}\mathrm{dx}=?$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 01/Jul/21

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\int \frac{2+\sqrt{\mathrm{x}}}{\mathrm{x}+\mathrm{a}+\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{with}\mathrm{a}>\frac{1}{4}\Rightarrow {\mathrm{f}}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{a}\right)=-\int \frac{2+\sqrt{\mathrm{x}}}{{(\mathrm{x}+\mathrm{a}+\sqrt{\mathrm{x}})}^2}\mathrm{dx}\Rightarrow$$$$-{\mathrm{f}}^{{}^{\prime }}\left(1\right)=\int \frac{2+\sqrt{\mathrm{x}}}{{(\mathrm{x}+1+\sqrt{\mathrm{x}})}^2}\mathrm{dx}\mathrm{we}\mathrm{have}$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right){=}_{\sqrt{\mathrm{x}}=\mathrm{t}}\int \frac{2+\mathrm{t}}{{\mathrm{t}}^2+\mathrm{a}+\mathrm{t}}\left(2\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\int \frac{2\mathrm{t}+{\mathrm{t}}^2}{{\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+\mathrm{a}}\mathrm{dt}$$$$=\int \frac{{\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+\mathrm{a}+\mathrm{t}-\mathrm{a}}{{\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+\mathrm{a}}\mathrm{dt}=\mathrm{t}+\int \frac{\mathrm{t}-\mathrm{a}}{{\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+\mathrm{a}}\mathrm{dt}$$$${\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+\mathrm{a}=0\Rightarrow \mathrm{\Delta }=1-4\mathrm{a}<0\mathrm{because}\mathrm{a}>\frac{1}{4}\Rightarrow$$$$\int \frac{\mathrm{t}-\mathrm{a}}{{\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+\mathrm{a}}\mathrm{dt}=\frac{1}{2}\int \frac{2\mathrm{t}+1-2\mathrm{a}-1}{{\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+\mathrm{a}}\mathrm{dt}$$$$=\frac{1}{2}\int \frac{2\mathrm{t}+1}{{\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+\mathrm{a}}\mathrm{dt}-\frac{2\mathrm{a}+1}{2}\int \frac{\mathrm{dt}}{{\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+\mathrm{a}}$$$$=\frac{1}{2}\log ({\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+\mathrm{a})-\frac{2\mathrm{a}+1}{2}\mathrm{I}$$$$\mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{dt}}{{\mathrm{t}}^2+2\frac{\mathrm{t}}{2}+\frac{1}{4}+\mathrm{a}-\frac{1}{4}}=\int \frac{\mathrm{dt}}{{(\mathrm{t}+\frac{1}{2})}^2+\frac{4\mathrm{a}-1}{4}}$$$${=}_{\mathrm{t}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}{2}\mathrm{y}}\int \frac{1}{\left(\frac{4\mathrm{a}-1}{4}\right)(1+{\mathrm{y}}^2)}\frac{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}{2}\mathrm{dy}$$$$=\frac{2\sqrt{4\mathrm{a}-1}}{4\mathrm{a}-1}\mathrm{arctany}+\mathrm{c}=\frac{2}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\arctan \left(\frac{2\mathrm{t}+1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\right)+\mathrm{c}\Rightarrow$$$$\int \frac{\mathrm{t}-\mathrm{a}}{{\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+\mathrm{a}}\mathrm{dt}=\frac{1}{2}\log ({\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}+\mathrm{a})-\frac{2\mathrm{a}+1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\arctan \left(\frac{2\mathrm{t}+1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\right)+\mathrm{c}\Rightarrow$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\sqrt{\mathrm{x}}+\frac{1}{2}\log (\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{a})-\frac{2\mathrm{a}+1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\arctan \left(\frac{2\sqrt{\mathrm{x}}+1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\right)+\mathrm{c}\Rightarrow$$$${\mathrm{f}}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{a}\right)=\frac{1}{2(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{a})}-\left(\frac{2\sqrt{4\mathrm{a}-1}-(2\mathrm{a}+1)\frac{2}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}}{4\mathrm{a}-1}\right)\arctan \left(\frac{2\sqrt{\mathrm{x}}+1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\right)$$$$-\left(\frac{2\mathrm{a}+1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\right)\times \frac{(2\sqrt{\mathrm{x}}+1){\left(\frac{1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\right)}^{{}^{\prime }}}{1+{\left(\frac{2\sqrt{\mathrm{x}}+1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\right)}^2}$$$$=\frac{1}{2(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{a})}-\frac{2(4\mathrm{a}-1)-2(2\mathrm{a}+1)}{(4\mathrm{a}-1)\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\arctan \left(\frac{2\sqrt{\mathrm{x}}+1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\right)$$$$-\frac{2\mathrm{a}+1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\times \frac{(2\sqrt{\mathrm{x}}+1)(-\frac{2}{(4\mathrm{a}-1)\sqrt{4\mathrm{a}-1}})}{1+{\left(\frac{2\sqrt{\mathrm{x}}+1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\right)}^2}\Rightarrow$$$${\mathrm{f}}^{{}^{\prime }}\left(\mathrm{a}\right)=\frac{1}{2(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}}+\mathrm{a})}-\frac{4\mathrm{a}-4}{(4\mathrm{a}-1)\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\arctan \left(\frac{2\sqrt{\mathrm{x}}+1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\right)$$$$+\frac{2(2\mathrm{a}+1)(2\sqrt{\mathrm{x}}+1)}{{(4\mathrm{a}-1)}^2(1+{\left(\frac{2\sqrt{\mathrm{x}}+1}{\sqrt{4\mathrm{a}-1}}\right)}^2)}\Rightarrow$$$$-{\mathrm{f}}^{{}^{\prime }}\left(1\right)=-\frac{1}{2(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}}+1)}+\frac{6(2\sqrt{\mathrm{x}}+1)}{9(1+{\left(\frac{2\sqrt{\mathrm{x}}+1}{\sqrt{3}}\right)}^2}+\mathrm{K}$$$$$$

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