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Question Number 145370 by imjagoll last updated on 04/Jul/21

$$\mathrm{There}\mathrm{are}\mathrm{two}\mathrm{circles},\mathrm{C}\mathrm{of}\mathrm{radius}1\mathrm{and}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}$$$$\mathrm{of}\mathrm{radius}\mathrm{r}\mathrm{which}\mathrm{intersect}\mathrm{on}\mathrm{a}\mathrm{plain}$$$$\mathrm{At}\mathrm{each}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{two}\mathrm{intersecting}$$$$\mathrm{points}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{circumferences}\mathrm{of}$$$$\mathrm{C}\mathrm{and}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}},\mathrm{the}\mathrm{tangent}\mathrm{to}\mathrm{C}\mathrm{and}$$$$\mathrm{that}\mathrm{to}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\mathrm{form}\mathrm{an}\mathrm{angle}120°\mathrm{outside}$$$$\mathrm{of}\mathrm{C}\mathrm{and}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}.\mathrm{Fill}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{blanks}$$$$\mathrm{with}\mathrm{the}\mathrm{answers}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{following}$$$$\mathrm{questions}$$$$\left(1\right)\mathrm{Express}\mathrm{the}\mathrm{distance}\mathrm{d}\mathrm{between}$$$$\mathrm{the}\mathrm{centers}\mathrm{of}\mathrm{C}\mathrm{and}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}\mathrm{in}\mathrm{terms}$$$$\mathrm{of}\mathrm{r}$$$$\left(2\right)\mathrm{Calculate}\mathrm{the}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{r}\mathrm{at}$$$$\mathrm{which}\mathrm{d}\mathrm{in}\left(1\right)\mathrm{attains}\mathrm{the}\mathrm{minimum}$$$$\left(3\right)\mathrm{in}\mathrm{case}\left(2\right)\mathrm{express}\mathrm{the}\mathrm{area}$$$$\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{intersection}\mathrm{of}\mathrm{C}\mathrm{and}{\mathrm{C}}_{\mathrm{r}}$$$$\mathrm{in}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{constant}\pi$$

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