Soit p∈End(E). on pose q=id_E −p a) montrer que p est un projecteur si et seulement si q est un projecteur.. b) on suppose que p est un projecteur et on considere L={f∈End(E)/∃u∈End(E),f=u○p} et M={g∈End(E)/∃v∈End(E), g=v○q}. montrer que L et M sont des sous espaces vectoriels supplementaires de End(E)..


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Question Number 146001 by puissant last updated on 10/Jul/21
$Soit p∈End(E). on pose q=id_E −p a) montrer que p est un projecteur si et seulement si q est un projecteur.. b) on suppose que p est un projecteur et on considere L={f∈End(E)/∃u∈End(E),f=u○p} et M={g∈End(E)/∃v∈End(E), g=v○q}. montrer que L et M sont des sous espaces vectoriels supplementaires de End(E)..$
$Soit p \in End (E) . on pose q = {id}_{E} - p$ $a) montrer que p est un projecteur si et$ $seulement si q est un projecteur . .$ $b) on suppose que p est un projecteur et on$ $considere L = {f \in End (E) / \exists u \in End (E), f = u \circ p}$ $et M = {g \in End (E) / \exists v \in End (E), g = v \circ q} .$ $montrer que L et M sont des sous espaces$ $vectoriels supplementaires de End (E) . .$
	Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 10/Jul/21

	$a)$ $p est un projecteur \Leftrightarrow p^{2} = p$ $dans ce cas$ $q^{2} = ({id}_{E} - p) o ({id}_{E} - p)$ $q^{2} = {id}_{E} {oid}_{E} - {poid}_{E} - {id}_{E} op + pop$ $q^{2} = {id}_{E} - p - p + p^{2}$ $q^{2} = {id}_{E} - 2 p + p^{2}$ $q^{2} = {id}_{E} - {2 p}^{2} + p^{2}$ $q^{2} = {id}_{E} - p^{2}$ $q^{2} = {id}_{E} - p = q$ $p^{2} = p \Leftrightarrow q^{2} = q : CQFD$
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