Question Number 146009 by iloveisrael last updated on 10/Jul/21
$$\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{24}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}=? \\ $$
Answered by puissant last updated on 10/Jul/21
$$=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2k}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\right)\:\mathrm{telescopie}.. \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}−\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}.. \\ $$