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Question Number 146193 by mathmax by abdo last updated on 11/Jul/21

solve y^(′′) −y^′ + y=xe^(−x)

$$\mathrm{solve}\:\mathrm{y}^{''} \:−\mathrm{y}^{'} \:+\:\mathrm{y}=\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \\ $$

Answered by qaz last updated on 12/Jul/21

y_p =(1/(D^2 −D+1))xe^(−x) =e^(−x) (1/(D^2 −3D+3))x =(e^(−x) /3)((1/((D^2 /3)−D+1)))x =(e^(−x) /3)(1+D−(D^2 /3)+...)x =(e^(−x) /3)(x+1) λ^2 −λ+1=0 ⇒λ=((1±(√3)i)/2) ⇒y=e^((1/2)x) (C_1 cos ((√3)/2)x+C_2 sin ((√3)/2)x)+(1/3)(x+1)e^(−x)

$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{D}+\mathrm{1}}\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} =\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{D}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{D}+\mathrm{3}}\mathrm{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{3}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{D}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}−\mathrm{D}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{3}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{D}−\frac{\mathrm{D}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}+...\right)\mathrm{x} \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{3}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\lambda^{\mathrm{2}} −\lambda+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\lambda=\frac{\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{i}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}} \left(\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{cos}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\:\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 12/Jul/21

h→r^2 −r+1=0 →Δ=−3 ⇒r_1 =((1+i(√3))/2) and r_2 =((1−i(√3))/2) ⇒y_h =αe^((((1+i(√3))/2))x) +βe^((((1−i(√3))/2))x) =e^(x/2) (acos(((x(√3))/2))+bsin(((x(√3))/2))) =au_1 (x)+bu_2 (x) w(u_1 ,u_2 )= determinant (((e^(x/2) cos(((x(√3))/2)) e^(x/2) sin(((x(√3))/2)))),(((1/2)e^(x/2) (cos(((x(√3))/2))−(√3)sin(((x(√3))/2)) (1/2)e^(x/2) (sin(((x(√3))/2))+(√3)cos(((x(√3))/2))))) =(1/2)e^x cos(((x(√3))/2))sin(((x(√3))/2))+((√3)/2)e^x cos^2 (((x(√3))/2)) −(1/2)e^x sin(((x(√3))/2))cos(((x(√3))/2))+((√3)/2)e^x sin^2 (((x(√3))/2)) =((√3)/2)e^x ≠0 w_1 = determinant (((o e^(x/2) sin(((x(√3))/2)))),((xe^(−x) (1/2)e^(x/2) (....))))=−xe^(−(x/2)) sin(((x(√3))/2)) w_2 = determinant (((e^(x/2) cos(((x(√3))/2)) 0)),(((1/2)e^(x/2) (...) xe^(−x) )))=xe^(−(x/2)) cos(((x(√3))/2)) v_1 =∫ (w_1 /w)dx =−∫ ((xe^(−(x/2)) sin(((x(√3))/2)))/(((√3)/2)e^x ))dx=−(2/( (√3)))∫ xe^(−(3/2)x) sin(((x(√3))/2))dx ∫ xe^(−((3x)/2)) sin(((x(√3))/2))dx =Im(∫ x e^(−((3x)/2)+((ix(√3))/2)) dx)=.... v_2 =∫ (w_2 /w)dx =∫ ((xe^(−(x/2)) cos(((x(√3))/2)))/(((√3)/2)e^x ))=(2/( (√3)))∫ xe^(−(3/2)x) cos(((x(√3))/2))dx =(2/( (√3)))Re(∫ x e^(−((3x)/2)+((ix(√3))/2)) dx)=... ⇒y_p =u_1 v_2 +u_2 v_2 tbe general solution is y =y_p +y_h

$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{r}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\alpha\mathrm{e}^{\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:+\beta\mathrm{e}^{\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{acos}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{bsin}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$$$=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}\\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)−\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)+\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\right.\right.}\end{vmatrix} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}\\{\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(....\right)}\end{vmatrix}=−\mathrm{xe}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(...\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=\mathrm{xe}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\:\frac{\mathrm{xe}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }\mathrm{dx}=−\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{xe}^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\int\:\mathrm{xe}^{−\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx}\:=\mathrm{Im}\left(\int\:\:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{ix}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{dx}\right)=.... \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}\:=\int\:\:\frac{\mathrm{xe}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\mathrm{x}} }=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{xe}^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{Re}\left(\int\:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{3x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{ix}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{dx}\right)=... \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} +\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{tbe}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 12/Jul/21

y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2

$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \\ $$

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