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Question Number 146202 by lapache last updated on 11/Jul/21

∫((lnx)/(x−1))dx=....??? La primitive

$$\int\frac{{lnx}}{{x}−\mathrm{1}}{dx}=....??? \\ $$$${La}\:{primitive} \\ $$

Answered by Ar Brandon last updated on 12/Jul/21

I=∫_0 ^1 ((lnx)/(x−1))dx =−∫_0 ^1 ((lnx)/(1−x))dx =ψ′(1)=ζ(2)=(π^2 /6)

$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:=\psi'\left(\mathrm{1}\right)=\zeta\left(\mathrm{2}\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$

Answered by puissant last updated on 12/Jul/21

posons u=x−1⇒ du=dx I=∫((ln(1+u))/u)du or (1/(1+u))=Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n u^n ⇒ ln(1+u)=Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n ∫u^n du =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n (u^(n+1) /(n+1))+k u=0 ⇒ ln(1+u)=Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n (u^(n+1) /(n+1)) ∫((ln(1+u))/u)=Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n (1/(n+1))∫u^n du =Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n (u^(n+1) /((n+1)^2 ))+k = I or u=x−1 d′ou I=Σ_(n=0) ^∞ (−1)^n (((x−1)^(n+1) )/((n+1)^2 ))+k....

$$\mathrm{posons}\:\:\mathrm{u}=\mathrm{x}−\mathrm{1}\Rightarrow\:\mathrm{du}=\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{I}=\int\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)}{\mathrm{u}}\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{or}\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}}=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{u}^{\mathrm{n}} \Rightarrow\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \int\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \mathrm{du} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}+\mathrm{k} \\ $$$$\mathrm{u}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$\int\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}\right)}{\mathrm{u}}=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\int\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \mathrm{du} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \frac{\mathrm{u}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\mathrm{k}\:=\:\mathrm{I} \\ $$$$\mathrm{or}\:\mathrm{u}=\mathrm{x}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{ou}\:\mathrm{I}=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\mathrm{k}.... \\ $$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 12/Jul/21

F(x) = ∫((lnx)/(x−1)) dx Soit Li_2 appellee fonction de Spence ou fonction dilogarithme : Li_2 (z) = −∫_0 ^z ((ln(1−u))/u) du Li_2 (z) = −∫_1 ^(1−z) ((lnt)/(t−1)) dt = −F(1−z)+F(1) ⇒ F(x) = −Li_2 (1−x)+C

$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\int\frac{\mathrm{ln}{x}}{{x}−\mathrm{1}}\:{dx} \\ $$$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{appellee}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Spence}\:\mathrm{ou} \\ $$$$\mathrm{fonction}\:\mathrm{dilogarithme}\:: \\ $$$$\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left({z}\right)\:=\:−\int_{\mathrm{0}} ^{{z}} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−{u}\right)}{{u}}\:{du} \\ $$$$\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left({z}\right)\:=\:−\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{1}−{z}} \frac{\mathrm{ln}{t}}{{t}−\mathrm{1}}\:{dt}\:=\:−\mathrm{F}\left(\mathrm{1}−{z}\right)+\mathrm{F}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:−\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−{x}\right)+\mathrm{C} \\ $$

Commented by puissant last updated on 12/Jul/21

z∈C

$$\mathrm{z}\in\mathbb{C} \\ $$

Commented by puissant last updated on 12/Jul/21

Li_2 (z)=Σ_(k=1) ^∞ (z^k /k^2 )..

$$\mathrm{Li}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{z}\right)=\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }.. \\ $$

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