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Question Number 146328 by puissant last updated on 12/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 13/Jul/21

Pour realiser l′evenement E : “aucun anniversaire le meme jour” prenons une premiere personne. Son anniversaire peut etre choisi parmi 365. Puis prenons une deuxieme personne. Son anniversaire peut etre choisi parmi 364 (il ne peut pas tomber le meme jour que la premiere personne). Puis prenons une troisieme personne. Son anniversaire peut etre choisi parmi 363 (il ne peut pas tomber le meme jour que les deux premieres personnes). ...etc... Puis prenons la n^(ieme) et derniere personne. Son anniversaire peut etre choisi parmi 365−(n−1) (il ne peut pas tomber le meme jour que les n−1 premieres personnes). Le nombre de cas probables est donc : 365×364×363×...×(365−(n−1)) soit ((365!)/((365−n)!)) Le nombre de cas possibles est trivial : 365×365×365×...×365 = 365^n La probabilite de E est donc : p(E) = ((365)/((365−n)!×365^n )) Avec la calculatrice, on voit la probabilite tomber en−dessous de 50% a partir de n = 23. p(E)_(n=23) ≈ 49,27%. Conclusion : sur une classe de 25 eleves par exemple, il est tres probable (>50%) que deux eleves soient nes le meme jour.

$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{realiser}\:\mathrm{l}'\mathrm{evenement}\:\mathrm{E}\::\:``{aucun} \\ $$$${anniversaire}\:{le}\:{meme}\:{jour}''\:\mathrm{prenons} \\ $$$$\mathrm{une}\:\mathrm{premiere}\:\mathrm{personne}.\:\mathrm{Son} \\ $$$$\mathrm{anniversaire}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre}\:\mathrm{choisi}\:\mathrm{parmi}\:\mathrm{365}. \\ $$$$\mathrm{Puis}\:\mathrm{prenons}\:\mathrm{une}\:\mathrm{deuxieme}\:\mathrm{personne}. \\ $$$$\mathrm{Son}\:\mathrm{anniversaire}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre}\:\mathrm{choisi} \\ $$$$\mathrm{parmi}\:\mathrm{364}\:\left(\mathrm{il}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{tomber}\:\mathrm{le}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{meme}\:\mathrm{jour}\:\mathrm{que}\:\mathrm{la}\:\mathrm{premiere}\:\mathrm{personne}\right). \\ $$$$\mathrm{Puis}\:\mathrm{prenons}\:\mathrm{une}\:\mathrm{troisieme}\:\mathrm{personne}. \\ $$$$\mathrm{Son}\:\mathrm{anniversaire}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre}\:\mathrm{choisi} \\ $$$$\mathrm{parmi}\:\mathrm{363}\:\left(\mathrm{il}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{tomber}\:\mathrm{le}\right. \\ $$$$\mathrm{meme}\:\mathrm{jour}\:\mathrm{que}\:\mathrm{les}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{premieres} \\ $$$$\left.\mathrm{personnes}\right). \\ $$$$...\mathrm{etc}... \\ $$$$\mathrm{Puis}\:\mathrm{prenons}\:\mathrm{la}\:{n}^{{ieme}} \:\:\mathrm{et}\:\mathrm{derniere} \\ $$$$\mathrm{personne}.\:\mathrm{Son}\:\mathrm{anniversaire}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre} \\ $$$$\mathrm{choisi}\:\mathrm{parmi}\:\mathrm{365}−\left({n}−\mathrm{1}\right)\:\left(\mathrm{il}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{pas}\right. \\ $$$$\mathrm{tomber}\:\mathrm{le}\:\mathrm{meme}\:\mathrm{jour}\:\mathrm{que}\:\mathrm{les}\:{n}−\mathrm{1} \\ $$$$\left.\mathrm{premieres}\:\mathrm{personnes}\right). \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cas}\:\mathrm{probables}\:\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:: \\ $$$$\mathrm{365}×\mathrm{364}×\mathrm{363}×...×\left(\mathrm{365}−\left({n}−\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{soit}\:\frac{\mathrm{365}!}{\left(\mathrm{365}−{n}\right)!} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Le}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cas}\:\mathrm{possibles}\:\mathrm{est}\:\mathrm{trivial}\:: \\ $$$$\mathrm{365}×\mathrm{365}×\mathrm{365}×...×\mathrm{365}\:=\:\mathrm{365}^{{n}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{probabilite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{E}\:\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:: \\ $$$${p}\left(\mathrm{E}\right)\:=\:\frac{\mathrm{365}}{\left(\mathrm{365}−{n}\right)!×\mathrm{365}^{{n}} } \\ $$$$\mathrm{Avec}\:\mathrm{la}\:\mathrm{calculatrice},\:\mathrm{on}\:\mathrm{voit}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{probabilite}\:\mathrm{tomber}\:\mathrm{en}−\mathrm{dessous}\:\mathrm{de}\:\mathrm{50\%} \\ $$$$\mathrm{a}\:\mathrm{partir}\:\mathrm{de}\:{n}\:=\:\mathrm{23}. \\ $$$${p}\left(\mathrm{E}\right)_{{n}=\mathrm{23}} \:\approx\:\mathrm{49},\mathrm{27\%}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Conclusion}\::\:\mathrm{sur}\:\mathrm{une}\:\mathrm{classe}\:\mathrm{de}\:\mathrm{25} \\ $$$$\mathrm{eleves}\:\mathrm{par}\:\mathrm{exemple},\:\mathrm{il}\:\mathrm{est}\:\mathrm{tres}\:\mathrm{probable} \\ $$$$\left(>\mathrm{50\%}\right)\:\mathrm{que}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{eleves}\:\mathrm{soient}\:\mathrm{nes} \\ $$$$\mathrm{le}\:\mathrm{meme}\:\mathrm{jour}. \\ $$

Commented by puissant last updated on 13/Jul/21

merci

$$\mathrm{merci} \\ $$

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