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Question Number 146440 by KONE last updated on 13/Jul/21

	Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 13/Jul/21
	$Soit ϕ : H→aH definie par ϕ(h) = ah. Il sagit clairement d′une surjection de H sur aH. De plus, si ah_1 = ah_2 alors h_1 = h_2 car a est inversible, et donc ϕ est aussi injective. ϕ est donc une bijection de H sur aH. Ces deux ensembles ont le meme nombre d′elements. Supposons que aH ∩ bH ≠ ∅ et prouvons que aH = bH. Par symetrie il suffit de prouver que aH ⊂ bH. Soit x ∈ aH ∩ bH, x = ah_1 = bh_2 . Prenons y = ah ∈ aH. Alors a = bh_2 h_1 ^(−1) et donc y = bh_2 h_1 ^(−1) h ∈ bH. La reunion des ensembles aH est clairement egale a G (si x∈G, il est dans xH). On ne garde que les aH deux a deux disjoints et par les deux remarques precedentes on realise ainsi une partition de G avec des ensembles qui ont tous le meme cardinal, a savoir le cardinal de H. Si k est le nombre d′ensembles necessaires pour realiser cette partition on a : kCard(H) = Card(G) et donc le cardinal de H divise celui de G. H et K sont deux sous−groupes de G de cardinaux n et m premiers entre eux. Le seul morphisme de groupe ϕ de H vers K est le morphisme trivial, c′est−a−dire ϕ(x) = 1_K pour tout x de H. Considerons ϕ un tel morphisme. ϕ induit un isomorphisme de H/Ker(ϕ) sur Im(ϕ). Notons d le cardinal de H/Ker(ϕ) qui est aussi celui de Im(ϕ). Alors d est un diviseur de m et d est un diviseur de n. Mais comme n et m sont premiers entre eux, d ne peut etre egal que a 1, et donc Im(ϕ) = {1_K }.$
	$Soit φ : H \to a H definie par φ (h) = a h .$ $Il sagit clairement d^{'} une surjection de$ $H sur a H . De plus, si {a h}_{1} = {a h}_{2} alors$ $h_{1} = h_{2} car a est inversible, et donc φ$ $est aussi injective . φ est donc une$ $bijection de H sur a H . Ces deux$ $ensembles ont le meme nombre$ $d^{'} elements .$ $Supposons que a H \cap b H \neq \emptyset et$ $prouvons que a H = b H . Par symetrie$ $il suffit de prouver que a H \subset b H .$ $Soit x \in a H \cap b H, x = {a h}_{1} = {b h}_{2} .$ $Prenons y = a h \in a H . Alors a = {b h}_{2} h_{1}^{- 1}$ $et donc y = {b h}_{2} h_{1}^{- 1} h \in b H .$ $La reunion des ensembles a H$ $est clairement egale a G (si x \in G,$ $il est dans x H) . On ne garde que les a H$ $deux a deux disjoints et par les deux$ $remarques precedentes on realise$ $ainsi une partition de G avec des$ $ensembles qui ont tous le meme$ $cardinal, a savoir le cardinal de H .$ $Si k est le nombre d^{'} ensembles$ $necessaires pour realiser cette partition$ $on a : k Card (H) = Card (G) et donc$ $le cardinal de H divise celui de G .$ $H et K sont deux sous - groupes de G$ $de cardinaux n et m premiers entre$ $eux . Le seul morphisme de groupe φ$ $de H vers K est le morphisme trivial,$ $c^{'} est - a - dire φ (x) = 1_{K} pour tout$ $x de H . Considerons φ un tel$ $morphisme . φ induit un isomorphisme$ $de H / Ker (φ) sur Im (φ) . Notons d le$ $cardinal de H / Ker (φ) qui est aussi$ $celui de Im (φ) . Alors d est un diviseur$ $de m et d est un diviseur de n . Mais$ $comme n et m sont premiers entre eux,$ $d ne peut etre egal que a 1, et donc$ $Im (φ) = {1_{K}} .$
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