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Question Number 146440 by KONE last updated on 13/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 13/Jul/21

Soit ϕ : H→aH definie par ϕ(h) = ah. Il sagit clairement d′une surjection de H sur aH. De plus, si ah_1 = ah_2 alors h_1 = h_2 car a est inversible, et donc ϕ est aussi injective. ϕ est donc une bijection de H sur aH. Ces deux ensembles ont le meme nombre d′elements. Supposons que aH ∩ bH ≠ ∅ et prouvons que aH = bH. Par symetrie il suffit de prouver que aH ⊂ bH. Soit x ∈ aH ∩ bH, x = ah_1 = bh_2 . Prenons y = ah ∈ aH. Alors a = bh_2 h_1 ^(−1) et donc y = bh_2 h_1 ^(−1) h ∈ bH. La reunion des ensembles aH est clairement egale a G (si x∈G, il est dans xH). On ne garde que les aH deux a deux disjoints et par les deux remarques precedentes on realise ainsi une partition de G avec des ensembles qui ont tous le meme cardinal, a savoir le cardinal de H. Si k est le nombre d′ensembles necessaires pour realiser cette partition on a : kCard(H) = Card(G) et donc le cardinal de H divise celui de G. H et K sont deux sous−groupes de G de cardinaux n et m premiers entre eux. Le seul morphisme de groupe ϕ de H vers K est le morphisme trivial, c′est−a−dire ϕ(x) = 1_K pour tout x de H. Considerons ϕ un tel morphisme. ϕ induit un isomorphisme de H/Ker(ϕ) sur Im(ϕ). Notons d le cardinal de H/Ker(ϕ) qui est aussi celui de Im(ϕ). Alors d est un diviseur de m et d est un diviseur de n. Mais comme n et m sont premiers entre eux, d ne peut etre egal que a 1, et donc Im(ϕ) = {1_K }.

$$\mathrm{Soit}\:\varphi\::\:\mathrm{H}\rightarrow{a}\mathrm{H}\:\mathrm{definie}\:\mathrm{par}\:\varphi\left({h}\right)\:=\:{ah}.\: \\ $$$$\mathrm{Il}\:\mathrm{sagit}\:\mathrm{clairement}\:\mathrm{d}'\mathrm{une}\:\mathrm{surjection}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{H}\:\mathrm{sur}\:{a}\mathrm{H}.\:\mathrm{De}\:\mathrm{plus},\:\mathrm{si}\:{ah}_{\mathrm{1}} \:\:=\:{ah}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{alors} \\ $$$${h}_{\mathrm{1}} \:=\:{h}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{car}\:{a}\:\mathrm{est}\:\mathrm{inversible},\:\mathrm{et}\:\mathrm{donc}\:\varphi \\ $$$$\mathrm{est}\:\mathrm{aussi}\:\mathrm{injective}.\:\varphi\:\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{bijection}\:\mathrm{de}\:\mathrm{H}\:\mathrm{sur}\:{a}\mathrm{H}.\:\mathrm{Ces}\:\mathrm{deux} \\ $$$$\mathrm{ensembles}\:\mathrm{ont}\:\mathrm{le}\:\mathrm{meme}\:\mathrm{nombre} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{elements}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Supposons}\:\mathrm{que}\:{a}\mathrm{H}\:\cap\:{b}\mathrm{H}\:\neq\:\varnothing\:\:\mathrm{et} \\ $$$$\mathrm{prouvons}\:\mathrm{que}\:{a}\mathrm{H}\:=\:{b}\mathrm{H}.\:\mathrm{Par}\:\mathrm{symetrie} \\ $$$$\mathrm{il}\:\mathrm{suffit}\:\mathrm{de}\:\mathrm{prouver}\:\mathrm{que}\:{a}\mathrm{H}\:\:\subset\:{b}\mathrm{H}. \\ $$$$\mathrm{Soit}\:{x}\:\in\:{a}\mathrm{H}\:\cap\:{b}\mathrm{H},\:{x}\:=\:{ah}_{\mathrm{1}} \:=\:{bh}_{\mathrm{2}} . \\ $$$$\mathrm{Prenons}\:{y}\:=\:{ah}\:\in\:{a}\mathrm{H}.\:\mathrm{Alors}\:{a}\:=\:{bh}_{\mathrm{2}} {h}_{\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{et}\:\mathrm{donc}\:{y}\:=\:{bh}_{\mathrm{2}} {h}_{\mathrm{1}} ^{−\mathrm{1}} {h}\:\in\:{b}\mathrm{H}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{reunion}\:\mathrm{des}\:\mathrm{ensembles}\:{a}\mathrm{H} \\ $$$$\mathrm{est}\:\mathrm{clairement}\:\mathrm{egale}\:\mathrm{a}\:\:\mathrm{G}\:\left(\mathrm{si}\:{x}\in\mathrm{G},\right. \\ $$$$\left.\mathrm{il}\:\mathrm{est}\:\mathrm{dans}\:{x}\mathrm{H}\right).\:\mathrm{On}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{garde}\:\mathrm{que}\:\mathrm{les}\:{a}\mathrm{H} \\ $$$$\mathrm{deux}\:\:\mathrm{a}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{disjoints}\:\mathrm{et}\:\mathrm{par}\:\mathrm{les}\:\mathrm{deux} \\ $$$$\mathrm{remarques}\:\mathrm{precedentes}\:\mathrm{on}\:\mathrm{realise} \\ $$$$\mathrm{ainsi}\:\mathrm{une}\:\mathrm{partition}\:\mathrm{de}\:\mathrm{G}\:\mathrm{avec}\:\mathrm{des} \\ $$$$\mathrm{ensembles}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{ont}\:\mathrm{tous}\:\mathrm{le}\:\mathrm{meme} \\ $$$$\mathrm{cardinal},\:\mathrm{a}\:\mathrm{savoir}\:\mathrm{le}\:\mathrm{cardinal}\:\mathrm{de}\:\mathrm{H}. \\ $$$$\mathrm{Si}\:{k}\:\mathrm{est}\:\mathrm{le}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{d}'\mathrm{ensembles} \\ $$$$\mathrm{necessaires}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{realiser}\:\mathrm{cette}\:\mathrm{partition} \\ $$$$\mathrm{on}\:\mathrm{a}\::\:{k}\mathrm{Card}\left(\mathrm{H}\right)\:=\:\mathrm{Card}\left(\mathrm{G}\right)\:\mathrm{et}\:\mathrm{donc} \\ $$$$\mathrm{le}\:\mathrm{cardinal}\:\mathrm{de}\:\mathrm{H}\:\mathrm{divise}\:\mathrm{celui}\:\mathrm{de}\:\mathrm{G}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{H}\:\mathrm{et}\:\mathrm{K}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{sous}−\mathrm{groupes}\:\mathrm{de}\:\mathrm{G} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{cardinaux}\:{n}\:\mathrm{et}\:{m}\:\mathrm{premiers}\:\mathrm{entre} \\ $$$$\mathrm{eux}.\:\mathrm{Le}\:\mathrm{seul}\:\mathrm{morphisme}\:\mathrm{de}\:\mathrm{groupe}\:\varphi \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{H}\:\mathrm{vers}\:\mathrm{K}\:\mathrm{est}\:\mathrm{le}\:\mathrm{morphisme}\:\mathrm{trivial}, \\ $$$$\mathrm{c}'\mathrm{est}−\mathrm{a}−\mathrm{dire}\:\varphi\left({x}\right)\:=\:\mathrm{1}_{\mathrm{K}} \:\mathrm{pour}\:\mathrm{tout} \\ $$$${x}\:\mathrm{de}\:\mathrm{H}.\:\mathrm{Considerons}\:\varphi\:\mathrm{un}\:\mathrm{tel} \\ $$$$\mathrm{morphisme}.\:\varphi\:\mathrm{induit}\:\mathrm{un}\:\mathrm{isomorphisme} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{H}/\mathrm{Ker}\left(\varphi\right)\:\mathrm{sur}\:\mathrm{Im}\left(\varphi\right).\:\mathrm{Notons}\:{d}\:\mathrm{le} \\ $$$$\mathrm{cardinal}\:\mathrm{de}\:\mathrm{H}/\mathrm{Ker}\left(\varphi\right)\:\mathrm{qui}\:\mathrm{est}\:\mathrm{aussi} \\ $$$$\mathrm{celui}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Im}\left(\varphi\right).\:\mathrm{Alors}\:{d}\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{diviseur} \\ $$$$\mathrm{de}\:{m}\:\mathrm{et}\:{d}\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{diviseur}\:\mathrm{de}\:{n}.\:\mathrm{Mais} \\ $$$$\mathrm{comme}\:{n}\:\mathrm{et}\:{m}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{premiers}\:\mathrm{entre}\:\mathrm{eux}, \\ $$$${d}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{etre}\:\mathrm{egal}\:\mathrm{que}\:\mathrm{a}\:\mathrm{1},\:\mathrm{et}\:\mathrm{donc} \\ $$$$\mathrm{Im}\left(\varphi\right)\:=\:\left\{\mathrm{1}_{\mathrm{K}} \right\}. \\ $$

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