Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Probability and Statistics Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Probability and Statistics      Next in Probability and Statistics      

Question Number 146799 by puissant last updated on 15/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 15/Jul/21

Il y a 2 photocopieuses couleur sur 5 : p = (2/5) Il y a 3 photocopieuses N&B sur 5 : q = (3/5) = 1−p On note X la variable aleatoire qui mesure le nombre de photocopieuses couleur utilisees. X prend les valeurs 0 a n. 1− On a utilise une seule fois une photocopieuse couleur : Une personne k a utilise une photocopieuse couleur (proba p) et n−1 personnes ont utilise les N&B (proba q^(n−1) ). Donc pq^(n−1) Mais k peut prendre n valeurs. P(C) = npq^(n−1) = 2n(3^(n−1) /5^n ) 2− B est l′evenement “on a utilise les deux photocopieurs”. B^− est le complemebtaire de B. On a utilise que des couleurs (proba p^n ) ou que des N&B (proba q^n ). P(B^− ) = P(X=n) XOR P(X=0) P(B^− ) = P(X=n)+P(X=0) P(B^− ) = p^n +q^n = ((2/5))^n +((3/5))^n P(B) = 1−P(B^− ) = 1−((2/5))^n −((3/5))^n 3− La probabite d′avoir utilise que des N&B (donc aucune couleur) est : P(X=0) = q^n = ((3/5))^n La probabilite d′avoir utilise au moins une photocopieuse couleur est le complement de ce qui precede : P(A) = P(X≥1) = 1−p(X=0) = 1−((3/5))^n 4− A∩B est l′evenement “on a utilise au moins une photocopieuse couleur et on a utilise les deux photocopieurs” En fait, A∩B = B^− Les evenements A et B sont independants si P(A∩B) = p(A)p(B) Mais ((2/5))^n +((3/5))^n ≠ (1−((3/5))^n )(1−((2/5))^n −((3/5))^n ) donc A et B sont dependants.

$$\mathrm{Il}\:\mathrm{y}\:\mathrm{a}\:\mathrm{2}\:\mathrm{photocopieuses}\:\mathrm{couleur}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{5}\:: \\ $$$${p}\:=\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{Il}\:\mathrm{y}\:\mathrm{a}\:\mathrm{3}\:\mathrm{photocopieuses}\:\mathrm{N\&B}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{5}\:: \\ $$$$\:{q}\:=\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\:=\:\mathrm{1}−{p} \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{note}\:\mathrm{X}\:\mathrm{la}\:\mathrm{variable}\:\mathrm{aleatoire}\:\mathrm{qui} \\ $$$$\mathrm{mesure}\:\mathrm{le}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{de}\:\mathrm{photocopieuses} \\ $$$$\mathrm{couleur}\:\mathrm{utilisees}.\:\mathrm{X}\:\mathrm{prend}\:\mathrm{les}\:\mathrm{valeurs} \\ $$$$\mathrm{0}\:\mathrm{a}\:{n}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}− \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{utilise}\:\mathrm{une}\:\mathrm{seule}\:\mathrm{fois}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{photocopieuse}\:\mathrm{couleur}\:: \\ $$$$\mathrm{Une}\:\mathrm{personne}\:{k}\:\mathrm{a}\:\mathrm{utilise}\:\mathrm{une}\:\mathrm{photocopieuse} \\ $$$$\mathrm{couleur}\:\left(\mathrm{proba}\:{p}\right)\:\mathrm{et}\:{n}−\mathrm{1}\:\mathrm{personnes} \\ $$$$\mathrm{ont}\:\mathrm{utilise}\:\mathrm{les}\:\mathrm{N\&B}\:\left(\mathrm{proba}\:{q}^{{n}−\mathrm{1}} \right). \\ $$$$\mathrm{Donc}\:{pq}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{Mais}\:{k}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{prendre}\:{n}\:\mathrm{valeurs}. \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)\:=\:{npq}^{{n}−\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{2}{n}\frac{\mathrm{3}^{{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{5}^{{n}} } \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}− \\ $$$$\mathrm{B}\:\mathrm{est}\:\mathrm{l}'\mathrm{evenement}\:``{on}\:{a}\:{utilise}\:{les}\:{deux} \\ $$$${photocopieurs}''. \\ $$$$\overset{−} {\mathrm{B}}\:\mathrm{est}\:\mathrm{le}\:\mathrm{complemebtaire}\:\mathrm{de}\:\mathrm{B}.\:\mathrm{On}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{utilise}\:\mathrm{que}\:\mathrm{des}\:\mathrm{couleurs}\:\left(\mathrm{proba}\:{p}^{{n}} \right)\:\mathrm{ou} \\ $$$$\mathrm{que}\:\mathrm{des}\:\mathrm{N\&B}\:\left(\mathrm{proba}\:{q}^{{n}} \right). \\ $$$$\mathrm{P}\left(\overset{−} {\mathrm{B}}\right)\:=\:\mathrm{P}\left(\mathrm{X}={n}\right)\:\mathrm{XOR}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{P}\left(\overset{−} {\mathrm{B}}\right)\:=\:\mathrm{P}\left(\mathrm{X}={n}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{P}\left(\overset{−} {\mathrm{B}}\right)\:=\:{p}^{{n}} +{q}^{{n}} \:=\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} +\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)\:=\:\mathrm{1}−\mathrm{P}\left(\overset{−} {\mathrm{B}}\right)\:=\:\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} −\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}− \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{probabite}\:\mathrm{d}'\mathrm{avoir}\:\mathrm{utilise}\:\mathrm{que}\:\mathrm{des} \\ $$$$\mathrm{N\&B}\:\left(\mathrm{donc}\:\mathrm{aucune}\:\mathrm{couleur}\right)\:\mathrm{est}\:: \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{0}\right)\:=\:{q}^{{n}} \:=\:\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{probabilite}\:\mathrm{d}'\mathrm{avoir}\:\mathrm{utilise}\:\mathrm{au}\:\mathrm{moins} \\ $$$$\mathrm{une}\:\mathrm{photocopieuse}\:\mathrm{couleur}\:\mathrm{est}\:\mathrm{le} \\ $$$$\mathrm{complement}\:\mathrm{de}\:\mathrm{ce}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{precede}\:: \\ $$$$\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)\:=\:\mathrm{P}\left(\mathrm{X}\geqslant\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{1}−{p}\left(\mathrm{X}=\mathrm{0}\right)\:=\:\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{4}− \\ $$$$\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\:\mathrm{est}\:\mathrm{l}'\mathrm{evenement}\:``{on}\:{a}\:{utilise}\:{au} \\ $$$${moins}\:{une}\:{photocopieuse}\:{couleur} \\ $$$${et}\:{on}\:{a}\:{utilise}\:{les}\:{deux}\:{photocopieurs}'' \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{fait},\:\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\:=\:\overset{−} {\mathrm{B}} \\ $$$$\mathrm{Les}\:\mathrm{evenements}\:\mathrm{A}\:\mathrm{et}\:\mathrm{B}\:\mathrm{sont} \\ $$$$\mathrm{independants}\:\mathrm{si}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\cap\mathrm{B}\right)\:=\:{p}\left(\mathrm{A}\right){p}\left(\mathrm{B}\right) \\ $$$$\mathrm{Mais}\:\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} +\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \neq\:\left(\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \right)\left(\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} −\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\right)^{{n}} \right) \\ $$$$\mathrm{donc}\:\mathrm{A}\:\mathrm{et}\:\mathrm{B}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{dependants}. \\ $$

Commented by puissant last updated on 16/Jul/21

merci prof

$$\mathrm{merci}\:\mathrm{prof} \\ $$

Commented by puissant last updated on 16/Jul/21

monsieur pourquoi le n la a la premiere question..? svp

$$\mathrm{monsieur}\:\mathrm{pourquoi}\:\mathrm{le}\:\mathrm{n}\:\mathrm{la}\:\mathrm{a}\:\mathrm{la}\:\mathrm{premiere} \\ $$$$\:\mathrm{question}..?\:\mathrm{svp} \\ $$

Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 16/Jul/21

le pq^(n−1) est la probabilite d′une photocopieuse couleur mais il y a n facons de l′obtenir : avec la premiere personne ou le deuxieme ou la n^(ieme) le pq^(n−1) est la probabilite qu′une personne donnee ait une photopieuse couleur. En fait on a : proba(1ere pers.)+proba(2eme pers.) +...+proba(n^(ieme) pers.) =qp^(n−1) XOR qp^(n−1) ....XOR qp^(n−1) = n fois qp^(n−1)

$${le}\:{pq}^{{n}−\mathrm{1}} \:{est}\:{la}\:{probabilite}\:{d}'{une} \\ $$$${photocopieuse}\:{couleur}\:{mais}\:{il}\:{y}\:{a}\:{n} \\ $$$${facons}\:{de}\:{l}'{obtenir}\::\:{avec}\:{la}\:{premiere} \\ $$$${personne}\:{ou}\:{le}\:{deuxieme}\:{ou}\:{la}\:{n}^{{ieme}} \\ $$$${le}\:{pq}^{{n}−\mathrm{1}} \:{est}\:{la}\:{probabilite}\:{qu}'{une} \\ $$$${personne}\:{donnee}\:{ait}\:{une}\:{photopieuse} \\ $$$${couleur}.\:{En}\:{fait}\:{on}\:{a}\:: \\ $$$${proba}\left(\mathrm{1}{ere}\:{pers}.\right)+{proba}\left(\mathrm{2}{eme}\:{pers}.\right) \\ $$$$+...+{proba}\left({n}^{{ieme}} \:{pers}.\right) \\ $$$$={qp}^{{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{XOR}\:{qp}^{{n}−\mathrm{1}} ....\mathrm{XOR}\:{qp}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\:{n}\:{fois}\:{qp}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com