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Question Number 146898 by mathmax by abdo last updated on 16/Jul/21

calculate ∫_0 ^∞ ((cosx)/((x^2 +1)(x^2 +2)(x^2 +3)))dx

$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{cosx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)}\mathrm{dx} \\ $$

Answered by qaz last updated on 16/Jul/21

L(∫_0 ^∞ ((cos (tx))/(x^2 +a^2 ))dx)(s).........(a>0) =∫_0 ^∞ (s/((x^2 +a^2 )(s^2 +x^2 )))dx =(s/(s^2 −a^2 ))∫_0 ^∞ ((1/(x^2 +a^2 ))−(1/(s^2 +x^2 )))dx =(s/(s^2 −a^2 ))((1/a)tan^(−1) (x/a)−(1/s)tan^(−1) (x/s))∣_0 ^∞ =(π/(2a(s+a))) ∫_0 ^∞ ((cos x)/(x^2 +a^2 ))dx=L^(−1) ((π/(2a(s+a))))(t=1)=(π/(2a))e^(−at) ∣_(t=1) =(π/(2a))e^(−a) ∫_0 ^∞ ((cos x)/((x^2 +1)(x^2 +2)(x^2 +3)))dx =∫_0 ^∞ (((cos x)/(2(x^2 +1)))−((cos x)/(x^2 +2))+((cos x)/(2(x^2 +3))))dx =(π/4)e^(−1) −(π/(2(√2)))e^(−(√2)) +(π/( 4(√3)))e^(−(√3))

$$\mathscr{L}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{cos}\:\left(\mathrm{tx}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\right)\left(\mathrm{s}\right).........\left(\mathrm{a}>\mathrm{0}\right) \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{s}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{s}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{s}}{\mathrm{s}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{a}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{s}}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{x}}{\mathrm{s}}\right)\mid_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2a}\left(\mathrm{s}+\mathrm{a}\right)} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}=\mathscr{L}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{2a}\left(\mathrm{s}+\mathrm{a}\right)}\right)\left(\mathrm{t}=\mathrm{1}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2a}}\mathrm{e}^{−\mathrm{at}} \mid_{\mathrm{t}=\mathrm{1}} =\frac{\pi}{\mathrm{2a}}\mathrm{e}^{−\mathrm{a}} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} −\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{2}}} +\frac{\pi}{\:\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$

Commented by mathmax by abdo last updated on 16/Jul/21

thank sir answer correct..

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{sir}\:\mathrm{answer}\:\mathrm{correct}.. \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 16/Jul/21

Υ=∫_0 ^∞ ((cosx)/((x^2 +1)(x^2 +2)(x^2 +3)))dx ⇒2Υ=Re(∫_(−∞) ^(+∞) (e^(ix) /((x^2 +1)(x^2 +2)(x^2 +3)))) let Λ(z)=(e^(iz) /((z^2 +1)(z^2 +2)(z^2 +3))) ⇒Λ(z)=(e^(iz) /((z−i)(z+i)(z−(√2)i)(z+(√2)i)(z−i(√3))(z+i(√3)))) ∫_R Λ(z)dz=2iπ {Res(Λ,i)+Res(Λ,i(√2))+Res(Λ,i(√3))} Res(Λ,i)=(e^(−1) /((2i)(−1+2)(−1+3)))=(e^(−1) /(4i)) Res(Λ,i(√2)) =(e^(−(√2)) /((2(√2))i(−2+1)(−2+3))) =−(e^(−(√2)) /(2(√2)i)) Res(Λ,i(√3)) =(e^(−(√3)) /((2i(√3))(−3+1)(−3+2)))=(e^(−(√3)) /(4i(√3))) ⇒ ∫_R Λ(z)dz=2iπ{(e^(−1) /(4i))−(e^(−(√2)) /(2(√2)i))+(e^(−(√3)) /(4i(√3)))} =(π/2)e^(−1) −(π/( (√2)))e^(−(√2)) +(π/(2(√3)))e^(−(√3)) ⇒ Υ=(π/4)e^(−1) −(π/(2(√2)))e^(−(√2)) +(π/(4(√3)))e^(−(√3))

$$\Upsilon=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{cosx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{2}\Upsilon=\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{ix}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)}\right) \\ $$$$\mathrm{let}\:\Lambda\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3}\right)}\:\Rightarrow\Lambda\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{iz}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}−\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}+\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)} \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \Lambda\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\:\left\{\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{i}\right)+\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\right\} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{i}\right)=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2i}\right)\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2}\right)\left(−\mathrm{1}+\mathrm{3}\right)}=\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{4i}} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{2}}} }{\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\mathrm{i}\left(−\mathrm{2}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{2}+\mathrm{3}\right)}\:=−\frac{\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{2}}} }{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}} \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\Lambda,\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} }{\left(\mathrm{2i}\sqrt{\mathrm{3}}\right)\left(−\mathrm{3}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{3}+\mathrm{2}\right)}=\frac{\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} }{\mathrm{4i}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{R}} \Lambda\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}=\mathrm{2i}\pi\left\{\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{4i}}−\frac{\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{2}}} }{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}}+\frac{\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} }{\mathrm{4i}\sqrt{\mathrm{3}}}\right\} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} −\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:\:+\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\Rightarrow \\ $$$$\Upsilon=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:−\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{2}}} \:\:+\frac{\pi}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}}\mathrm{e}^{−\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$

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