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Question Number 146924 by Willson last updated on 16/Jul/21

Montrer que Ξ£_(k=0) ^(2nβˆ’1) cos^(2n) (𝛉+((k𝛑)/(2n)))= ((nC_(2n) ^n )/2^(2nβˆ’1) )

$$\boldsymbol{\mathrm{Montrer}}\:\boldsymbol{\mathrm{que}} \\ $$$$\underset{\boldsymbol{{k}}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}βˆ’\mathrm{1}} {\sum}}\boldsymbol{{cos}}^{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}} \left(\boldsymbol{\theta}+\frac{\boldsymbol{{k}\pi}}{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}}\right)=\:\frac{\boldsymbol{{nC}}_{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}} ^{\boldsymbol{{n}}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2}\boldsymbol{{n}}βˆ’\mathrm{1}} } \\ $$

Answered by mindispower last updated on 17/Jul/21

cos^(2n) (x)=(1/2^(2nβˆ’1) ).(((Ξ£_(k=0) ^(2n) C_(2n) ^k e^(ikx) .e^(βˆ’i(2nβˆ’k)x) )/2)) =(1/2^(2nβˆ’1) )(((Ξ£_(k=0) ^(nβˆ’1) C_(2n) ^k e^(i(kβˆ’2n+k)x) +C_(2n) ^n +Ξ£_(k=n+1) ^(2n) C_(2n) ^k e^(ikxβˆ’i(2nβˆ’k)x) )/2)) =(1/2^(2nβˆ’1) )(((Ξ£_(k=0) ^(nβˆ’1) C_(2n) ^k e^(i(2kβˆ’2n)x) +Ξ£_(k=0) ^(nβˆ’1) C_(2n) ^(2nβˆ’k) e^(i(2nβˆ’k)βˆ’ikx) )/2)+(C_n ^(2n) /2)) =(1/2^(2nβˆ’1) )(((Ξ£_(k=0) ^(nβˆ’1) C_(2n) ^k (e^(βˆ’(2nβˆ’2k)x) +e^(i(2nβˆ’2k)x) ))/2) +(C_n ^(2n) /2) =((Ξ£_(k=0) ^(nβˆ’1) C_(2n) ^k cos((2nβˆ’2k)x))/2^(2nβˆ’1) )+(C_n ^(2n) /2) S=(1/2^(2nβˆ’1) )Ξ£_(k=0) ^(2nβˆ’1) Re(Ξ£_(m=0) ^(nβˆ’1) C_(2n) ^m e^(i(2nβˆ’2m)(ΞΈ+((kΟ€)/(2n)))) +(C_n ^(2n) /2)) =((nC_n ^(2b) )/2^(2nβˆ’1) ) =((nC_n ^(2n) )/2)+Re(Ξ£_(m=0) ^(nβˆ’1) C_(2n) ^m .e^(i(2nβˆ’2m)ΞΈ) Ξ£_(k=0) ^(2nβˆ’1) e^(i(nβˆ’m).((kΟ€)/n)) ) =((nC_n ^(2n) )/2^(2nβˆ’1) )+ReΞ£_(m=0) ^(nβˆ’1) C_(2n) ^m e^(i(2nβˆ’2m)ΞΈ) .((1βˆ’(e^(i(nβˆ’m).(Ο€/n)) )^(2n) )/(1βˆ’e^(i(nβˆ’m).(Ο€/n)) )) =((nC_n ^(2n) )/2^(2nβˆ’1) )+Re(Ξ£_(m=0) ^(nβˆ’1) C_(2n) ^m e^(i(2nβˆ’2m)ΞΈ) .((1βˆ’e^(i2(nβˆ’m)Ο€) )/(1βˆ’e^(i(nβˆ’m).(Ο€/n)) ))) =((nC_n ^(2n) )/2^(2nβˆ’1) )+0 β‡’Ξ£_(k=0) ^(2nβˆ’1) cos^(2n) (ΞΈ+((kΟ€)/(2n)))=((nC_n ^(2n) )/2^(2nβˆ’1) )

$${cos}^{\mathrm{2}{n}} \left({x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} }.\left(\frac{\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}{n}} {\sum}}{C}_{\mathrm{2}{n}} ^{{k}} {e}^{{ikx}} .{e}^{βˆ’{i}\left(\mathrm{2}{n}βˆ’{k}\right){x}} }{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} }\left(\frac{\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}βˆ’\mathrm{1}} {\sum}}{C}_{\mathrm{2}{n}} ^{{k}} {e}^{{i}\left({k}βˆ’\mathrm{2}{n}+{k}\right){x}} +{C}_{\mathrm{2}{n}} ^{{n}} +\underset{{k}={n}+\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2}{n}} {\sum}}{C}_{\mathrm{2}{n}} ^{{k}} {e}^{{ikx}βˆ’{i}\left(\mathrm{2}{n}βˆ’{k}\right){x}} }{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} }\left(\frac{\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}βˆ’\mathrm{1}} {\sum}}{C}_{\mathrm{2}{n}} ^{{k}} {e}^{{i}\left(\mathrm{2}{k}βˆ’\mathrm{2}{n}\right){x}} +\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}βˆ’\mathrm{1}} {\sum}}{C}_{\mathrm{2}{n}} ^{\mathrm{2}{n}βˆ’{k}} {e}^{{i}\left(\mathrm{2}{n}βˆ’{k}\right)βˆ’{ikx}} }{\mathrm{2}}+\frac{{C}_{{n}} ^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} }\left(\frac{\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}βˆ’\mathrm{1}} {\sum}}{C}_{\mathrm{2}{n}} ^{{k}} \left({e}^{βˆ’\left(\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{2}{k}\right){x}} +{e}^{{i}\left(\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{2}{k}\right){x}} \right)}{\mathrm{2}}\:+\frac{{C}_{{n}} ^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}}\right. \\ $$$$=\frac{\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}βˆ’\mathrm{1}} {\sum}}{C}_{\mathrm{2}{n}} ^{{k}} {cos}\left(\left(\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{2}{k}\right){x}\right)}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} }+\frac{{C}_{{n}} ^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}} \\ $$$${S}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} }\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} {\sum}}{Re}\left(\underset{{m}=\mathrm{0}} {\overset{{n}βˆ’\mathrm{1}} {\sum}}{C}_{\mathrm{2}{n}} ^{{m}} {e}^{{i}\left(\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{2}{m}\right)\left(\theta+\frac{{k}\pi}{\mathrm{2}{n}}\right)} +\frac{{C}_{{n}} ^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$=\frac{{nC}_{{n}} ^{\mathrm{2}{b}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} } \\ $$$$=\frac{{nC}_{{n}} ^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}}+{Re}\left(\underset{{m}=\mathrm{0}} {\overset{{n}βˆ’\mathrm{1}} {\sum}}{C}_{\mathrm{2}{n}} ^{{m}} .{e}^{{i}\left(\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{2}{m}\right)\theta} \underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} {\sum}}{e}^{{i}\left({n}βˆ’{m}\right).\frac{{k}\pi}{{n}}} \right) \\ $$$$=\frac{{nC}_{{n}} ^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} }+{Re}\underset{{m}=\mathrm{0}} {\overset{{n}βˆ’\mathrm{1}} {\sum}}{C}_{\mathrm{2}{n}} ^{{m}} {e}^{{i}\left(\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{2}{m}\right)\theta} .\frac{\mathrm{1}βˆ’\left({e}^{{i}\left({n}βˆ’{m}\right).\frac{\pi}{{n}}} \right)^{\mathrm{2}{n}} \:}{\mathrm{1}βˆ’{e}^{{i}\left({n}βˆ’{m}\right).\frac{\pi}{{n}}} } \\ $$$$=\frac{{nC}_{{n}} ^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} }+{Re}\left(\underset{{m}=\mathrm{0}} {\overset{{n}βˆ’\mathrm{1}} {\sum}}{C}_{\mathrm{2}{n}} ^{{m}} {e}^{{i}\left(\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{2}{m}\right)\theta} .\frac{\mathrm{1}βˆ’{e}^{{i}\mathrm{2}\left({n}βˆ’{m}\right)\pi} }{\mathrm{1}βˆ’{e}^{{i}\left({n}βˆ’{m}\right).\frac{\pi}{{n}}} }\right) \\ $$$$=\frac{{nC}_{{n}} ^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} }+\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} {\sum}}{cos}^{\mathrm{2}{n}} \left(\theta+\frac{{k}\pi}{\mathrm{2}{n}}\right)=\frac{{nC}_{{n}} ^{\mathrm{2}{n}} }{\mathrm{2}^{\mathrm{2}{n}βˆ’\mathrm{1}} } \\ $$

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