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Question Number 146975 by tabata last updated on 16/Jul/21

find laurant series f(z)=((z^2 −2z+3)/(z−2)) ,∣z−1∣>1

$${find}\:{laurant}\:{series}\:{f}\left({z}\right)=\frac{{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{z}+\mathrm{3}}{{z}−\mathrm{2}}\:,\mid{z}−\mathrm{1}\mid>\mathrm{1} \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Jul/21

f(z)=((z^2 −2z+3)/(z−2))=((z^2 −2z)/(z−2))+(3/(z−2))=z +(3/(z−2)) =z+(3/(z−1−1))=z −(3/((z−1)(1−(1/(z−1))))) (∣z−1∣>1 ⇒∣(1/(z−1))∣<1) =z−(3/(z−1))Σ_(n=0) ^∞ ((1/(z−1)))^n =z−3Σ_(n=0) ^∞ (1/((z−1)^(n+1) )) =z−3Σ_(n=1) ^∞ (1/((z−1)^n )) =z−3((1/(z−1))+(1/((z−1)^2 ))+(1/((z−1)^3 ))+....)

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2z}+\mathrm{3}}{\mathrm{z}−\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2z}}{\mathrm{z}−\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{z}−\mathrm{2}}=\mathrm{z}\:+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{z}−\mathrm{2}} \\ $$ $$=\mathrm{z}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{z}−\mathrm{1}−\mathrm{1}}=\mathrm{z}\:−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{1}}\right)}\:\:\left(\mid\mathrm{z}−\mathrm{1}\mid>\mathrm{1}\:\Rightarrow\mid\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{1}}\mid<\mathrm{1}\right) \\ $$ $$=\mathrm{z}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{z}−\mathrm{1}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{n}} \:=\mathrm{z}−\mathrm{3}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} } \\ $$ $$=\mathrm{z}−\mathrm{3}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} } \\ $$ $$=\mathrm{z}−\mathrm{3}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }+....\right) \\ $$

Commented bymathmax by abdo last updated on 17/Jul/21

sorry f(z)=z+(3/((z−1)(1−(1/(z−1))))) ⇒ f(z)=z+3Σ_(n=1) ^∞ (1/((z−1)^n ))

$$\mathrm{sorry}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{z}+\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{z}−\mathrm{1}}\right)}\:\Rightarrow \\ $$ $$\mathrm{f}\left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{z}+\mathrm{3}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} } \\ $$

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