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Question Number 146987 by KONE last updated on 16/Jul/21

	Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 17/Jul/21

	$1)$ $Supposons que a = 0$ $on a donc les solutions suivantes :$ $(0, 0, n)$ $(0, 1, n - 1)$ $(0, 2, n - 2)$ $. . .$ $(0, n - 1, 1)$ $(0, n, 0)$ $Soit (n + 1) triplets solutions .$ $Supposons que a = 1$ $on a donc les solutions suivantes :$ $(1, 0, n - 1)$ $(1, 1, n - 2)$ $(1, 2, n - 3)$ $. . .$ $(1, n - 2, 1)$ $(1, n - 1, 0)$ $Soit n triplets solutions .$ $Pour a = 2, on a (n - 1) triplets$ $solutions et bien sur, pour a = n, on a$ $une seule solution (n, 0, 0) .$ $Le nombre total de triplets solutions$ $est donc :$ $(n + 1) + (n) + (n - 1) + . . . + 1$ $= \underset{k = 0}{\sum^{n + 1}} k = \frac{(n + 1) (n + 2)}{2}$ $2)$ $Combien y a - t - il de suites$ $croissantes de p termes de [[1, n]] ?$ $On etablit une suite de la maniere$ $suivante . Tant que les entiers de 1 a k$ $ont pour image 1 on ecrit k ‘ ‘ 1^{″} qui se$ $suivent et on termine par une cloison .$ $Si aucun entier n^{'} a pour image 1, on$ $commence par une cloison .$ $On poursuit avec autant de 2 {qu}^{'} il$ $y a d^{'} entiers suivants qui ont pour$ $image 2 puis une cloison . Si aucun$ $entier n^{'} a pour image 2 on met$ $simplement une cloison .$ $Et ainsi de suite sauf que {lorsqu}^{'} on$ $arrive aux derniers entiers qui ont$ $pour image n il est inutile de$ $terminer par une cloison .$ $Un exemple :$ $Soit l^{'} application de [[1, 4]] dans [[1, 5]]$ $telle que f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 3,$ $f (4) = 5 . Elle est representee par$ $11 / / 3 / / 5 .$ $Si f (1) = f (2) = 2 et f (3) = f (4) = 4, la$ $representation est / 22 / / 44 /$ $On a donc ecrit n nombres et p - 1$ $cloisons donc n + p - 1 symboles .$ $Une application croissante$ $est determinee par la place des p - 1$ $cloisons . Le nombre d^{'} applications$ $croissates est donc C_{p - 1}^{n + p - 1} .$ $Dans notre cas particulier, on a une$ $suite de n nombres donc p = n . Et le$ $nombre de suites croissantes de n$ $termes de [[1, n]] est alors :$ $C_{n - 1}^{2 n - 1} .$ $Par exemple, pour les 5 - uplets de$ $nombres de 1 a 5, il y en a :$ $C_{5 - 1}^{2 \times 5 - 1} = C_{4}^{9} = \frac{9!}{4! 5!} = 126 dont les 5$ $nombres sont ranges dans l^{'} ordre$ $croissant .$
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