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Question Number 147018 by puissant last updated on 17/Jul/21
Commented by Tinku Tara last updated on 17/Jul/21
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Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 17/Jul/21
![f(x) = ke^(−∣x∣) f est definie sur R. 1) η = ∫_(−∞) ^(+∞) f(x)dx η = ∫_(−∞) ^(+∞) ke^(−∣x∣) dx = 2k∫_0 ^(+∞) e^(−x) dx η = 2k[−e^(−x) ]_0 ^(+∞) = 2k(−0+1) = 2k f est une densite de probabilite si η = 1. C′est−a−dire si k = (1/2) f(x) = (1/2)e^(−∣x∣) 2) La fonction F de repartition de f est alors donnee par : F(x) = ∫_(−∞) ^x f(t)dt = (1/2)∫_(−∞) ^x e^(−∣t∣) dt Explicitons F en etudiant deux cas. 1er cas : x≤0 F(x) = (1/2)∫_(−∞) ^x e^(−∣t∣) dt = (1/2)∫_(−∞) ^x e^t dt F(x) = (1/2)[e^t ]_(−∞) ^x = (1/2)e^x 2eme cas : x>0 F(x) = P(X≤x) = (1/2)∫_(−∞) ^x e^(−∣t∣) dt F(x) = (1/2)∫_(−∞) ^0 e^t dt+(1/2)∫_0 ^x e^(−t) dt F(x) = (1/2)+(1/2)[−e^(−t) ]_0 ^x F(x) = (1/2)+(1/2)(1−e^(−x) ) F(x) = 1−(1/2)e^(−x) Finalement : F(x) = { (((1/2)e^x , x≤0)),((1−(1/2)e^(−x) , x>0)) :} On voit que F est continue partout sur R, en particulier en 0 : F(0^− ) = (1/2)e^0 = (1/2) F(0^+ ) = 1−(1/2)e^(−0) = (1/2) 3) Y = X^2 Soit G la fonction de repartion de Y. G(y) = P(Y≤y) = P(X^2 ≤y) 1er cas : si y<0 alors G(y) = 0 car on n′a jamais X^2 <y (un carre est toujours positif). 2eme cas : y≥0 G(y) = P(X^2 ≤y) = P(−(√y)≤X≤(√y)) G(y) = F((√y))−F(−(√y)) G(y) = (1−(1/2)e^(−(√y)) )−(1−(1/2)e^(√y) ) G(y) = ((e^(√y) −e^(−(√y)) )/2) = sinh((√y)) La densite g de Y est par definition la derivee de sa fonction de repartition G. g(y) = (d/dy)(sinh((√y))) g(y) = (1/(2(√y)))cosh((√y)), si y>0 (et 0 si y≤0) On voit que : ∫_(−∞) ^(+∞) g(y)dy = lim_(y→∞) G(y) = +∞ ≠ 1 g n′est donc pas une densite de probabilite.](Q147040.png)
$${f}\left({x}\right)\:=\:{ke}^{−\mid{x}\mid} \\ $$$${f}\:\mathrm{est}\:\mathrm{definie}\:\mathrm{sur}\:\mathbb{R}. \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right) \\ $$$$\eta\:=\:\int_{−\infty} ^{+\infty} {f}\left({x}\right){dx} \\ $$$$\eta\:=\:\int_{−\infty} ^{+\infty} {ke}^{−\mid{x}\mid} {dx}\:=\:\mathrm{2}{k}\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} {e}^{−{x}} {dx} \\ $$$$\eta\:=\:\mathrm{2}{k}\left[−{e}^{−{x}} \right]_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \:=\:\mathrm{2}{k}\left(−\mathrm{0}+\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{2}{k} \\ $$$$ \\ $$$${f}\:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{densite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{probabilite} \\ $$$$\mathrm{si}\:\eta\:=\:\mathrm{1}.\:\mathrm{C}'\mathrm{est}−\mathrm{a}−\mathrm{dire}\:\mathrm{si}\:{k}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${f}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{−\mid{x}\mid} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\: \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{F}\:\mathrm{de}\:\mathrm{repartition}\:\mathrm{de}\:{f}\:\mathrm{est} \\ $$$$\mathrm{alors}\:\mathrm{donnee}\:\mathrm{par}\:: \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\int_{−\infty} ^{{x}} {f}\left({t}\right){dt}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{{x}} {e}^{−\mid{t}\mid} {dt} \\ $$$$\mathrm{Explicitons}\:\mathrm{F}\:\mathrm{en}\:\mathrm{etudiant}\:\mathrm{deux}\:\mathrm{cas}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1er}\:\mathrm{cas}\::\:{x}\leqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{{x}} {e}^{−\mid{t}\mid} {dt}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{{x}} {e}^{{t}} {dt} \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[{e}^{{t}} \right]_{−\infty} ^{{x}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{{x}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2eme}\:\mathrm{cas}\::\:{x}>\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{X}\leqslant{x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{{x}} {e}^{−\mid{t}\mid} {dt}\: \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{−\infty} ^{\mathrm{0}} {e}^{{t}} {dt}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{{x}} {e}^{−{t}} {dt} \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left[−{e}^{−{t}} \right]_{\mathrm{0}} ^{{x}} \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−{e}^{−{x}} \right) \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{−{x}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Finalement}\:: \\ $$$$\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\begin{cases}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{{x}} ,\:{x}\leqslant\mathrm{0}}\\{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{−{x}} ,\:{x}>\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{voit}\:\mathrm{que}\:\mathrm{F}\:\mathrm{est}\:\mathrm{continue}\:\mathrm{partout} \\ $$$$\mathrm{sur}\:\mathbb{R},\:\mathrm{en}\:\mathrm{particulier}\:\mathrm{en}\:\mathrm{0}\:: \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}^{−} \right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{\mathrm{0}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\: \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}^{+} \right)\:=\:\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{−\mathrm{0}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\: \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{Y}\:=\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{G}\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{de}\:\mathrm{repartion}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Y}. \\ $$$$\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{Y}\leqslant{y}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{X}^{\mathrm{2}} \leqslant{y}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1er}\:\mathrm{cas}\::\:\mathrm{si}\:{y}<\mathrm{0}\:\mathrm{alors}\:\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:\mathrm{0}\:\mathrm{car}\:\mathrm{on} \\ $$$$\mathrm{n}'\mathrm{a}\:\mathrm{jamais}\:\mathrm{X}^{\mathrm{2}} <{y}\:\left(\mathrm{un}\:\mathrm{carre}\:\mathrm{est}\:\mathrm{toujours}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{positif}\right). \\ $$$$\mathrm{2eme}\:\mathrm{cas}\::\:{y}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{X}^{\mathrm{2}} \leqslant{y}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(−\sqrt{{y}}\leqslant\mathrm{X}\leqslant\sqrt{{y}}\right) \\ $$$$\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:\mathrm{F}\left(\sqrt{{y}}\right)−\mathrm{F}\left(−\sqrt{{y}}\right) \\ $$$$\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{−\sqrt{{y}}} \right)−\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{e}^{\sqrt{{y}}} \right) \\ $$$$\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:\frac{{e}^{\sqrt{{y}}} −{e}^{−\sqrt{{y}}} }{\mathrm{2}}\:=\:\mathrm{sinh}\left(\sqrt{{y}}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{densite}\:{g}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Y}\:\mathrm{est}\:\mathrm{par}\:\mathrm{definition}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{derivee}\:\mathrm{de}\:\mathrm{sa}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{de}\:\mathrm{repartition}\:\mathrm{G}. \\ $$$${g}\left({y}\right)\:=\:\frac{{d}}{{dy}}\left(\mathrm{sinh}\left(\sqrt{{y}}\right)\right) \\ $$$${g}\left({y}\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{y}}}\mathrm{cosh}\left(\sqrt{{y}}\right),\:\mathrm{si}\:{y}>\mathrm{0}\:\left(\mathrm{et}\:\mathrm{0}\:\mathrm{si}\:{y}\leqslant\mathrm{0}\right) \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{voit}\:\mathrm{que}\:: \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} {g}\left({y}\right){dy}\:=\:\underset{{y}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{G}\left({y}\right)\:=\:+\infty\:\neq\:\mathrm{1} \\ $$$${g}\:\mathrm{n}'\mathrm{est}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{une}\:\mathrm{densite}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{probabilite}. \\ $$