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Question Number 147122 by mathdanisur last updated on 18/Jul/21

lim_(n→∞) Σ_(k=1) ^n 2^k ∙((2)^(1/2^k ) −1)^2 = ?

$$\underset{\boldsymbol{{n}}\rightarrow\infty} {{lim}}\:\underset{\boldsymbol{{k}}=\mathrm{1}} {\overset{\boldsymbol{{n}}} {\sum}}\mathrm{2}^{\boldsymbol{{k}}} \centerdot\left(\sqrt[{\mathrm{2}^{\boldsymbol{{k}}} }]{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:?\: \\ $$

Answered by Kamel last updated on 18/Jul/21

Sorry you are right: (i′m consider ((√2))^(1/2^k ) ) S_n =Σ_(k=1) ^n 2^k ((2)^(1/2^k ) −1)^2 =Σ_(k=1) ^n 2^k (2^(1/2^(k−1) ) −2^((1/2^k )+1) +1) =Σ_(k=1) ^n (2^(k+(1/2^(k−1) )) −2^((1/2^k )+k+1) )+2^(n+1) −1 =2^2 −2^((1/2^1 )+2) +2^((1/2)+2) −2^((1/2^2 )+3) +2^((1/2^2 )+3) −2^((1/2^3 )+4) ...−2^((1/2^n )+n+1) +2^(n+1) −2 =2−22^n (2^(1/2^n ) −1) lim_(n→+∞) S_n =^(t=(1/2^n )) 2−2lim_(t→0^+ ) ((2^t −1)/t)=2−2Ln(2) ∴ lim_(n→+∞) Σ_(k=1) ^n 2^k ((2)^(1/2^k ) −1)^2 =2−2Ln(2) KAMEL BENAICHA

$${Sorry}\:{you}\:{are}\:{right}:\:\left({i}'{m}\:{consider}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{k}} }} \right) \\ $$$${S}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{2}^{{k}} \left(\sqrt[{\mathrm{2}^{{k}} }]{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{2}^{{k}} \left(\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{k}−\mathrm{1}} }} −\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{k}} }+\mathrm{1}} +\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\mathrm{2}^{{k}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{k}−\mathrm{1}} }} −\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{k}} }+{k}+\mathrm{1}} \right)+\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1} \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{1}} }+\mathrm{2}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{3}} +\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{3}} −\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{3}} }+\mathrm{4}} ...−\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }+{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{2} \\ $$$$=\mathrm{2}−\mathrm{22}^{{n}} \left(\mathrm{2}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow+\infty} {{lim}S}_{{n}} \overset{{t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} }} {=}\mathrm{2}−\mathrm{2}\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } {{lim}}\frac{\mathrm{2}^{{t}} −\mathrm{1}}{{t}}=\mathrm{2}−\mathrm{2}{Ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\therefore\:\underset{{n}\rightarrow+\infty} {\:{lim}}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{2}^{{k}} \left(\sqrt[{\mathrm{2}^{{k}} }]{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}−\mathrm{2}{Ln}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{{KAMEL}}\:\boldsymbol{{BENAICHA}} \\ $$

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