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Question Number 147130 by puissant last updated on 18/Jul/21

Commented by puissant last updated on 18/Jul/21

$$\mathrm{merci}\mathrm{prof}$$

Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 18/Jul/21

$${\mathrm{J}}^{\prime }\mathrm{ai}\mathrm{oublie}\mathrm{de}\mathrm{calculer}\mathrm{la}\mathrm{variance}\mathrm{et}$$$${\mathrm{l}}^{\prime }\mathrm{ecart}-\mathrm{type}!$$$$$$$$\mathrm{V}\left(\mathrm{X}\right)\approx 43,51\mathrm{\%}\times {(7-7,56)}^2$$$$+56,45\mathrm{\%}{(8-7,56)}^2$$$$\mathrm{V}\left(\mathrm{X}\right)\approx 0,24$$$$$$$$\sigma \left(X\right)=\sqrt{\mathrm{V}\left(\mathrm{X}\right)}\approx 0,50$$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 18/Jul/21

$$1)$$$$\mathrm{Soit}\mathrm{G}\mathrm{la}\mathrm{variable}\mathrm{aleatoire}\mathrm{qui}$$$$\mathrm{mesure}\mathrm{le}\mathrm{nombre}\mathrm{de}\mathrm{gauchers}\mathrm{dans}$$$$\mathrm{un}\mathrm{groupe}\mathrm{de}\mathrm{huit}\mathrm{personnes}\mathrm{de}\mathrm{cette}$$$$\mathrm{population}.\mathrm{G}\mathrm{prend}\mathrm{les}\mathrm{valeurs}0\mathrm{a}8.$$$$\mathrm{On}\mathrm{peut}\mathrm{aussi}\mathrm{appeler}\mathrm{D}\mathrm{la}\mathrm{variable}$$$$\mathrm{aleatoire}\mathrm{qui}\mathrm{mesure}\mathrm{le}\mathrm{nombre}\mathrm{de}$$$$\mathrm{droitiers}.\mathrm{En}\mathrm{fait},\mathrm{D}=8-\mathrm{G}$$$$1.1.$$$$\mathrm{Probabilite}\mathrm{de}\mathrm{zero}\mathrm{gaucher}:$$$$\mathbb{P}(\mathrm{G}=0)=\mathbb{P}(\mathrm{D}=8)$$$$\mathbb{P}(\mathrm{G}=0)=\left(\frac{9}{10}\right)\times \left(\frac{9}{10}\right)\times ...\times \left(\frac{9}{10}\right)$$$$\mathbb{P}(\mathrm{G}=0)={\left(\frac{9}{10}\right)}^8$$$$\mathrm{La}\mathrm{probabilite}{\mathrm{d}}^{\prime }\mathrm{au}\mathrm{moins}\mathrm{un}\mathrm{gaucher}$$$$\mathrm{est}\mathrm{le}\mathrm{complement}:$$$$\mathbb{P}(\mathrm{G}⩾1)=1-\mathbb{P}(\mathrm{G}=0)=1-{\left(\frac{9}{10}\right)}^8$$$$\mathbb{P}(\mathrm{G}⩾1)\approx 56,95\mathrm{\%}$$$$$$$$1.2.$$$$\mathrm{Probabilite}\mathrm{pour}\mathrm{que}\mathrm{les}3\mathrm{premieres}$$$$\mathrm{personnes}\mathrm{du}\mathrm{groupe}\mathrm{de}8\mathrm{soient}$$$$\mathrm{gaucheres},\mathrm{les}5\mathrm{autres}\mathrm{droitieres}:$$$${\left(\frac{1}{10}\right)}^3\times {\left(\frac{9}{10}\right)}^5.$$$$\mathrm{Mais}\mathrm{ce}{\mathrm{n}}^{\prime }\mathrm{est}\mathrm{pas}\mathrm{forcement}\mathrm{les}3$$$$\mathrm{premieres}\mathrm{personnes}\mathrm{qui}\mathrm{sont}\mathrm{gaucheres}$$$$\mathrm{Il}\mathrm{faut}\mathrm{multiplier}\mathrm{par}\mathrm{le}\mathrm{nombre}\mathrm{de}$$$$\mathrm{combinaisons}\mathrm{possibles}:{\mathrm{C}}_3^8$$$$\mathbb{P}(\mathrm{G}=3)=\mathbb{P}(\mathrm{D}=5)={\mathrm{C}}_3^8{\left(\frac{1}{10}\right)}^3{\left(\frac{9}{10}\right)}^5$$$$\mathbb{P}(\mathrm{G}=3)\approx 3,31\mathrm{\%}$$$$$$$$2)$$$$\mathrm{Il}\mathrm{y}\mathrm{a}10\mathrm{paires}\mathrm{de}\mathrm{ciseaux},7\mathrm{pour}$$$$\mathrm{droitiers}\mathrm{et}3\mathrm{pour}\mathrm{gauchers}.$$$$\mathrm{Pour}\mathrm{que}\mathrm{les}8\mathrm{membres}\mathrm{du}\mathrm{personnel}$$$$\mathrm{trouvent}\mathrm{une}\mathrm{paire}\mathrm{de}\mathrm{ciseaux}$$$$\mathrm{convenable},\mathrm{il}\mathrm{faut}\mathrm{necessairement}1,2$$$$\mathrm{ou}3\mathrm{gauchers}.$$$$\mathrm{Plus}\mathrm{de}\mathrm{trois}\mathrm{gauchers}\mathrm{ne}\mathrm{convient}\mathrm{pas}$$$$\mathrm{car}\mathrm{il}{\mathrm{n}}^{\prime }\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{que}3\mathrm{paires}\mathrm{de}\mathrm{ciseaux}$$$$\mathrm{pour}\mathrm{gauchers}.$$$$\mathrm{Zero}\mathrm{gaucher}\mathrm{ne}\mathrm{convient}\mathrm{pas}\mathrm{car}\mathrm{alors}$$$$\mathrm{il}\mathrm{y}\mathrm{aurait}8\mathrm{droitiers}\mathrm{et}\mathrm{il}{\mathrm{n}}^{\prime }\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{que}7$$$$\mathrm{paires}\mathrm{de}\mathrm{ciseaux}\mathrm{pour}\mathrm{droitiers}.$$$$\mathrm{Appelons}‘‘{\mathrm{OK}}^{″}{\mathrm{l}}^{\prime }\mathrm{evenement}‘‘\mathrm{chaque}$$$$\mathrm{membre}\mathrm{du}\mathrm{personnel}\mathrm{a}\mathrm{une}\mathrm{paire}\mathrm{de}$$$$\mathrm{ciseaux}{\mathrm{convenable}}^{″}\mathrm{alors}:$$$$\mathbb{P}(‘‘{\mathrm{OK}}^{″})=\mathbb{P}(\mathrm{G}=1)+\mathbb{P}(\mathrm{G}=2)+\mathbb{P}(\mathrm{G}=3)$$$$\mathbb{P}(‘‘{\mathrm{OK}}^{″})={\mathrm{C}}_1^8\left(\frac{1}{10}\right){\left(\frac{9}{10}\right)}^7+{\mathrm{C}}_2^8{\left(\frac{1}{10}\right)}^2{\left(\frac{9}{10}\right)}^6$$$$+{\mathrm{C}}_3^8{\left(\frac{1}{10}\right)}^3{\left(\frac{9}{10}\right)}^5$$$$\mathbb{P}(‘‘{\mathrm{OK}}^{″})\approx 56,45\mathrm{\%}$$$$$$$$3)$$$$\mathrm{Soit}\mathrm{X}\mathrm{la}\mathrm{variable}\mathrm{aleatoire}\mathrm{prenant}$$$$\mathrm{pour}\mathrm{valeur}\mathrm{le}\mathrm{nombre}\mathrm{de}\mathrm{personnes}$$$$\mathrm{ayant}\mathrm{trouve}\mathrm{une}\mathrm{bonne}\mathrm{paire}\mathrm{de}$$$$\mathrm{ciseaux}.\mathrm{X}\mathrm{prend}\mathrm{les}\mathrm{valeurs}\mathrm{de}0\mathrm{a}8.$$$$\mathrm{On}\mathrm{batit}\mathrm{tous}\mathrm{les}\mathrm{doublets}\mathrm{possibles}\mathrm{et}$$$$\mathrm{on}\mathrm{determine}\mathrm{dans}\mathrm{chaque}\mathrm{cas}\mathrm{la}$$$$\mathrm{valeur}\mathrm{de}\mathrm{X}:$$$$(\mathrm{G}=0,\mathrm{D}=8):\mathrm{X}=7\left(\mathrm{ok}\mathrm{pour}7\mathrm{D}\right)$$$$(\mathrm{G}=1,\mathrm{D}=7):\mathrm{X}=8\left(\mathrm{ok}\mathrm{pour}1\mathrm{G}\mathrm{et}7\mathrm{D}\right)$$$$(\mathrm{G}=2,\mathrm{D}=6):\mathrm{X}=8\left(\mathrm{ok}\mathrm{pour}2\mathrm{G}\mathrm{et}6\mathrm{D}\right)$$$$(\mathrm{G}=3,\mathrm{D}=5):\mathrm{X}=8\left(\mathrm{ok}\mathrm{pour}3\mathrm{G}\mathrm{et}5\mathrm{D}\right)$$$$(\mathrm{G}=4,\mathrm{D}=4):\mathrm{X}=7\left(\mathrm{ok}\mathrm{pour}3\mathrm{G}\mathrm{et}4\mathrm{D}\right)$$$$(\mathrm{G}=5,\mathrm{D}=3):\mathrm{X}=6\left(\mathrm{ok}\mathrm{pour}3\mathrm{G}\mathrm{et}3\mathrm{D}\right)$$$$(\mathrm{G}=6,\mathrm{D}=2):\mathrm{X}=5\left(\mathrm{ok}\mathrm{pour}3\mathrm{G}\mathrm{et}2\mathrm{D}\right)$$$$(\mathrm{G}=7,\mathrm{D}=1):\mathrm{X}=4\left(\mathrm{ok}\mathrm{pour}3\mathrm{G}\mathrm{et}1\mathrm{D}\right)$$$$(\mathrm{G}=8,\mathrm{D}=0):\mathrm{X}=3\left(\mathrm{ok}\mathrm{pour}3\mathrm{G}\right)$$$$$$$$\mathrm{On}\mathrm{a}\mathrm{donc}:$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=0)=0$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=1)=0$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=2)=0$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=3)=\mathbb{P}(\mathrm{G}=8)={\mathrm{C}}_8^8{\left(\frac{1}{10}\right)}^8$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=4)=\mathbb{P}(\mathrm{G}=7)={\mathrm{C}}_7^8{\left(\frac{1}{10}\right)}^7\left(\frac{9}{10}\right)$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=5)=\mathbb{P}(\mathrm{G}=6)={\mathrm{C}}_6^8{\left(\frac{1}{10}\right)}^6{\left(\frac{9}{10}\right)}^2$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=6)=\mathbb{P}(\mathrm{G}=5)={\mathrm{C}}_5^8{\left(\frac{1}{10}\right)}^5{\left(\frac{9}{10}\right)}^3$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=7)=\mathbb{P}(\mathrm{G}=0)+\mathbb{P}(\mathrm{G}=4)$$$$={\mathrm{C}}_0^8{\left(\frac{9}{10}\right)}^8+{\mathrm{C}}_4^8{\left(\frac{1}{10}\right)}^4{\left(\frac{9}{10}\right)}^5$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=8)=\mathbb{P}(‘‘{\mathrm{OK}}^{″})$$$$$$$$\mathrm{Sortons}\mathrm{la}\mathrm{calculette}:$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=0)=0\mathrm{\%}\mathrm{exactement}$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=1)=0\mathrm{\%}\mathrm{exactement}$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=2)=0\mathrm{\%}\mathrm{exaxtement}$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=3)\approx 0,00\mathrm{\%}$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=4)\approx 0,00\mathrm{\%}$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=5)\approx 0,00\mathrm{\%}$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=6)\approx 0,00\mathrm{\%}$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=7)\approx 43,51\mathrm{\%}$$$$\mathbb{P}(\mathrm{X}=8)\approx 56,45\mathrm{\%}$$$$$$$$\mathrm{On}\mathrm{constate}{\mathrm{d}}^{\prime }\mathrm{abord}\mathrm{que}\mathrm{la}\mathrm{somme}$$$$\mathrm{des}\mathrm{probabilites}\mathrm{est}\mathrm{bien}\mathrm{egale}\mathrm{a}1$$$$\left(\mathrm{aux}\mathrm{erreurs}{\mathrm{d}}^{\prime }\mathrm{arrondis}\mathrm{pres}\right)\mathrm{et}\mathrm{que}$$$$\mathrm{les}\mathrm{probabilites}\mathrm{se}\mathrm{concentrent}\mathrm{tres}$$$$\mathrm{fortement}\mathrm{sur}\mathrm{les}\mathrm{valeurs}\mathrm{X}=7\mathrm{et}\mathrm{X}=8$$$$\mathrm{Il}\mathrm{y}\mathrm{a}\mathrm{donc}\mathrm{de}\mathrm{tres}\mathrm{fortes}\mathrm{chances}$$$${\mathrm{qu}}^{\prime }\mathrm{au}\mathrm{moins}7\mathrm{personnes}\mathrm{aient}\mathrm{une}$$$$\mathrm{paire}\mathrm{de}\mathrm{ciseaux}\mathrm{convenable}.$$$$$$$${\mathrm{L}}^{\prime }\mathrm{esperance}\mathrm{mathematique}\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right)\mathrm{de}$$$$\mathrm{la}\mathrm{variable}\mathrm{X}\mathrm{se}\mathrm{calcule}\mathrm{alors}\mathrm{de}$$$$\mathrm{maniere}\mathrm{triviale}:$$$$\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right)\approx (\mathrm{X}=7)\times \mathbb{P}(\mathrm{X}=7)+(\mathrm{X}=8)\times \mathbb{P}(\mathrm{X}=8)$$$$\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right)\approx 7\times 43,51\mathrm{\%}+8\times 56,45\mathrm{\%}$$$$\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right)\approx 7,56$$

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