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Question Number 147130 by puissant last updated on 18/Jul/21

Commented by puissant last updated on 18/Jul/21

merci prof

$$\mathrm{merci}\:\mathrm{prof} \\ $$

Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 18/Jul/21

J′ai oublie de calculer la variance et l′ecart−type ! V(X) ≈ 43,51%×(7−7,56)^2 +56,45%(8−7,56)^2 V(X) ≈ 0,24 σ(X) = (√(V(X))) ≈ 0,50

$$\mathrm{J}'\mathrm{ai}\:\mathrm{oublie}\:\mathrm{de}\:\mathrm{calculer}\:\mathrm{la}\:\mathrm{variance}\:\mathrm{et} \\ $$$$\mathrm{l}'\mathrm{ecart}−\mathrm{type}\:! \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{V}\left(\mathrm{X}\right)\:\approx\:\mathrm{43},\mathrm{51\%}×\left(\mathrm{7}−\mathrm{7},\mathrm{56}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$+\mathrm{56},\mathrm{45\%}\left(\mathrm{8}−\mathrm{7},\mathrm{56}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{V}\left(\mathrm{X}\right)\:\approx\:\mathrm{0},\mathrm{24} \\ $$$$ \\ $$$$\sigma\left({X}\right)\:=\:\sqrt{\mathrm{V}\left(\mathrm{X}\right)}\:\approx\:\mathrm{0},\mathrm{50} \\ $$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 18/Jul/21

1) Soit G la variable aleatoire qui mesure le nombre de gauchers dans un groupe de huit personnes de cette population. G prend les valeurs 0 a 8. On peut aussi appeler D la variable aleatoire qui mesure le nombre de droitiers. En fait, D = 8−G 1.1. Probabilite de zero gaucher : P(G=0) = P(D=8) P(G=0) =((9/(10)))×((9/(10)))×...×((9/(10))) P(G=0) = ((9/(10)))^8 La probabilite d′au moins un gaucher est le complement : P(G≥1) = 1−P(G=0) = 1−((9/(10)))^8 P(G≥1) ≈ 56,95% 1.2. Probabilite pour que les 3 premieres personnes du groupe de 8 soient gaucheres, les 5 autres droitieres : ((1/(10)))^3 ×((9/(10)))^5 . Mais ce n′est pas forcement les 3 premieres personnes qui sont gaucheres Il faut multiplier par le nombre de combinaisons possibles : C_3 ^8 P(G=3) = P(D=5) = C_3 ^8 ((1/(10)))^3 ((9/(10)))^5 P(G=3) ≈ 3,31% 2) Il y a 10 paires de ciseaux, 7 pour droitiers et 3 pour gauchers. Pour que les 8 membres du personnel trouvent une paire de ciseaux convenable, il faut necessairement 1, 2 ou 3 gauchers. Plus de trois gauchers ne convient pas car il n′y a que 3 paires de ciseaux pour gauchers. Zero gaucher ne convient pas car alors il y aurait 8 droitiers et il n′y a que 7 paires de ciseaux pour droitiers. Appelons “OK” l′evenement “chaque membre du personnel a une paire de ciseaux convenable” alors : P(“OK”) = P(G=1)+P(G=2)+P(G=3) P(“OK”) = C_1 ^8 ((1/(10)))((9/(10)))^7 +C_2 ^8 ((1/(10)))^2 ((9/(10)))^6 +C_3 ^8 ((1/(10)))^3 ((9/(10)))^5 P(“OK”) ≈ 56,45% 3) Soit X la variable aleatoire prenant pour valeur le nombre de personnes ayant trouve une bonne paire de ciseaux. X prend les valeurs de 0 a 8. On batit tous les doublets possibles et on determine dans chaque cas la valeur de X : (G=0,D=8) : X = 7 (ok pour 7D) (G=1,D=7) : X = 8 (ok pour 1G et 7D) (G=2,D=6) : X = 8 (ok pour 2G et 6D) (G=3,D=5) : X = 8 (ok pour 3G et 5D) (G=4,D=4) : X = 7 (ok pour 3G et 4D) (G=5,D=3) : X = 6 (ok pour 3G et 3D) (G=6,D=2) : X = 5 (ok pour 3G et 2D) (G=7,D=1) : X = 4 (ok pour 3G et 1D) (G=8,D=0) : X = 3 (ok pour 3G) On a donc : P(X=0) = 0 P(X=1) = 0 P(X=2) = 0 P(X=3) = P(G=8) = C_8 ^8 ((1/(10)))^8 P(X=4) = P(G=7) = C_7 ^8 ((1/(10)))^7 ((9/(10))) P(X=5) = P(G=6) = C_6 ^8 ((1/(10)))^6 ((9/(10)))^2 P(X=6) = P(G=5) = C_5 ^8 ((1/(10)))^5 ((9/(10)))^3 P(X=7) = P(G=0)+ P(G=4) = C_0 ^8 ((9/(10)))^8 +C_4 ^8 ((1/(10)))^4 ((9/(10)))^5 P(X=8) = P(“OK”) Sortons la calculette : P(X=0) = 0% exactement P(X=1) = 0% exactement P(X=2) = 0% exaxtement P(X=3) ≈ 0,00% P(X=4) ≈ 0,00% P(X=5) ≈ 0,00% P(X=6) ≈ 0,00% P(X=7) ≈ 43,51% P(X=8) ≈ 56,45% On constate d′abord que la somme des probabilites est bien egale a 1 (aux erreurs d′arrondis pres) et que les probabilites se concentrent tres fortement sur les valeurs X = 7 et X = 8 Il y a donc de tres fortes chances qu′au moins 7 personnes aient une paire de ciseaux convenable. L′esperance mathematique E(X) de la variable X se calcule alors de maniere triviale : E(X) ≈ (X=7)×P(X=7)+(X=8)×P(X=8) E(X) ≈ 7×43,51%+8×56,45% E(X) ≈ 7,56

$$\left.\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{G}\:\mathrm{la}\:\mathrm{variable}\:\mathrm{aleatoire}\:\mathrm{qui} \\ $$$$\mathrm{mesure}\:\mathrm{le}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{de}\:\mathrm{gauchers}\:\mathrm{dans} \\ $$$$\mathrm{un}\:\mathrm{groupe}\:\mathrm{de}\:\mathrm{huit}\:\mathrm{personnes}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cette} \\ $$$$\mathrm{population}.\:\mathrm{G}\:\mathrm{prend}\:\mathrm{les}\:\mathrm{valeurs}\:\mathrm{0}\:\mathrm{a}\:\mathrm{8}. \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{aussi}\:\:\mathrm{appeler}\:\mathrm{D}\:\mathrm{la}\:\mathrm{variable} \\ $$$$\mathrm{aleatoire}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{mesure}\:\mathrm{le}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{droitiers}.\:\mathrm{En}\:\mathrm{fait},\:\mathrm{D}\:=\:\mathrm{8}−\mathrm{G} \\ $$$$\mathrm{1}.\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{Probabilite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{zero}\:\mathrm{gaucher}\:: \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{0}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{D}=\mathrm{8}\right) \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{0}\right)\:=\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)×\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)×...×\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right) \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{0}\right)\:=\:\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{probabilite}\:\mathrm{d}'\mathrm{au}\:\mathrm{moins}\:\mathrm{un}\:\mathrm{gaucher} \\ $$$$\mathrm{est}\:\mathrm{le}\:\mathrm{complement}\:: \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{G}\geqslant\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{1}−\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{0}\right)\:=\:\mathrm{1}−\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{G}\geqslant\mathrm{1}\right)\:\approx\:\mathrm{56},\mathrm{95\%} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}.\mathrm{2}. \\ $$$$\mathrm{Probabilite}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{que}\:\mathrm{les}\:\mathrm{3}\:\mathrm{premieres} \\ $$$$\mathrm{personnes}\:\mathrm{du}\:\mathrm{groupe}\:\mathrm{de}\:\mathrm{8}\:\mathrm{soient} \\ $$$$\mathrm{gaucheres},\:\mathrm{les}\:\mathrm{5}\:\mathrm{autres}\:\mathrm{droitieres}\:: \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{3}} ×\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{5}} . \\ $$$$\mathrm{Mais}\:\mathrm{ce}\:\mathrm{n}'\mathrm{est}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{forcement}\:\mathrm{les}\:\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{premieres}\:\mathrm{personnes}\:\mathrm{qui}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{gaucheres} \\ $$$$\mathrm{Il}\:\mathrm{faut}\:\mathrm{multiplier}\:\mathrm{par}\:\mathrm{le}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{combinaisons}\:\mathrm{possibles}\::\:\mathrm{C}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{3}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{D}=\mathrm{5}\right)\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{8}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{3}\right)\:\approx\:\mathrm{3},\mathrm{31\%} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{Il}\:\mathrm{y}\:\mathrm{a}\:\mathrm{10}\:\mathrm{paires}\:\mathrm{de}\:\mathrm{ciseaux},\:\mathrm{7}\:\mathrm{pour} \\ $$$$\mathrm{droitiers}\:\mathrm{et}\:\mathrm{3}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{gauchers}. \\ $$$$\mathrm{Pour}\:\mathrm{que}\:\mathrm{les}\:\mathrm{8}\:\mathrm{membres}\:\mathrm{du}\:\mathrm{personnel} \\ $$$$\mathrm{trouvent}\:\mathrm{une}\:\mathrm{paire}\:\mathrm{de}\:\mathrm{ciseaux} \\ $$$$\mathrm{convenable},\:\mathrm{il}\:\mathrm{faut}\:\mathrm{necessairement}\:\mathrm{1},\:\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{ou}\:\mathrm{3}\:\mathrm{gauchers}. \\ $$$$\mathrm{Plus}\:\mathrm{de}\:\mathrm{trois}\:\mathrm{gauchers}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{convient}\:\mathrm{pas} \\ $$$$\mathrm{car}\:\mathrm{il}\:\mathrm{n}'\mathrm{y}\:\mathrm{a}\:\mathrm{que}\:\mathrm{3}\:\mathrm{paires}\:\mathrm{de}\:\mathrm{ciseaux} \\ $$$$\mathrm{pour}\:\mathrm{gauchers}. \\ $$$$\mathrm{Zero}\:\mathrm{gaucher}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{convient}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{car}\:\mathrm{alors} \\ $$$$\mathrm{il}\:\mathrm{y}\:\mathrm{aurait}\:\mathrm{8}\:\mathrm{droitiers}\:\mathrm{et}\:\mathrm{il}\:\mathrm{n}'\mathrm{y}\:\mathrm{a}\:\mathrm{que}\:\mathrm{7} \\ $$$$\mathrm{paires}\:\mathrm{de}\:\mathrm{ciseaux}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{droitiers}. \\ $$$$\mathrm{Appelons}\:``\mathrm{OK}''\:\mathrm{l}'\mathrm{evenement}\:``\mathrm{chaque} \\ $$$$\mathrm{membre}\:\mathrm{du}\:\mathrm{personnel}\:\mathrm{a}\:\mathrm{une}\:\mathrm{paire}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{ciseaux}\:\mathrm{convenable}''\:\mathrm{alors}\:: \\ $$$$\mathbb{P}\left(``\mathrm{OK}''\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{1}\right)+\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{2}\right)+\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathbb{P}\left(``\mathrm{OK}''\right)\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{8}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)\left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{7}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{8}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{6}} \\ $$$$+\mathrm{C}_{\mathrm{3}} ^{\mathrm{8}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{3}} \left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathbb{P}\left(``\mathrm{OK}''\right)\:\approx\:\mathrm{56},\mathrm{45\%} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{Soit}\:\mathrm{X}\:\mathrm{la}\:\mathrm{variable}\:\mathrm{aleatoire}\:\mathrm{prenant} \\ $$$$\mathrm{pour}\:\mathrm{valeur}\:\mathrm{le}\:\mathrm{nombre}\:\mathrm{de}\:\mathrm{personnes} \\ $$$$\mathrm{ayant}\:\mathrm{trouve}\:\mathrm{une}\:\mathrm{bonne}\:\mathrm{paire}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{ciseaux}.\:\mathrm{X}\:\mathrm{prend}\:\mathrm{les}\:\mathrm{valeurs}\:\mathrm{de}\:\mathrm{0}\:\mathrm{a}\:\mathrm{8}. \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{batit}\:\mathrm{tous}\:\mathrm{les}\:\mathrm{doublets}\:\mathrm{possibles}\:\mathrm{et} \\ $$$$\mathrm{on}\:\mathrm{determine}\:\mathrm{dans}\:\mathrm{chaque}\:\mathrm{cas}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{valeur}\:\mathrm{de}\:\mathrm{X}\:: \\ $$$$\left(\mathrm{G}=\mathrm{0},\mathrm{D}=\mathrm{8}\right)\::\:\mathrm{X}\:=\:\mathrm{7}\:\left(\mathrm{ok}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{7D}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{G}=\mathrm{1},\mathrm{D}=\mathrm{7}\right)\::\:\mathrm{X}\:=\:\mathrm{8}\:\left(\mathrm{ok}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{1G}\:\mathrm{et}\:\mathrm{7D}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{G}=\mathrm{2},\mathrm{D}=\mathrm{6}\right)\::\:\mathrm{X}\:=\:\mathrm{8}\:\left(\mathrm{ok}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{2G}\:\mathrm{et}\:\mathrm{6D}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{G}=\mathrm{3},\mathrm{D}=\mathrm{5}\right)\::\:\mathrm{X}\:=\:\mathrm{8}\:\left(\mathrm{ok}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{3G}\:\mathrm{et}\:\mathrm{5D}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{G}=\mathrm{4},\mathrm{D}=\mathrm{4}\right)\::\:\mathrm{X}\:=\:\mathrm{7}\:\left(\mathrm{ok}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{3G}\:\mathrm{et}\:\mathrm{4D}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{G}=\mathrm{5},\mathrm{D}=\mathrm{3}\right)\::\:\mathrm{X}\:=\:\mathrm{6}\:\left(\mathrm{ok}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{3G}\:\mathrm{et}\:\mathrm{3D}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{G}=\mathrm{6},\mathrm{D}=\mathrm{2}\right)\::\:\mathrm{X}\:=\:\mathrm{5}\:\left(\mathrm{ok}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{3G}\:\mathrm{et}\:\mathrm{2D}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{G}=\mathrm{7},\mathrm{D}=\mathrm{1}\right)\::\:\mathrm{X}\:=\:\mathrm{4}\:\left(\mathrm{ok}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{3G}\:\mathrm{et}\:\mathrm{1D}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{G}=\mathrm{8},\mathrm{D}=\mathrm{0}\right)\::\:\mathrm{X}\:=\:\mathrm{3}\:\left(\mathrm{ok}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{3G}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{donc}\:: \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{0}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{2}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{3}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{8}\right)\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{8}} ^{\mathrm{8}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{4}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{7}\right)\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{7}} ^{\mathrm{8}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{7}} \left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right) \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{5}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{6}\right)\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{6}} ^{\mathrm{8}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{6}} \left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{6}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{5}\right)\:=\:\mathrm{C}_{\mathrm{5}} ^{\mathrm{8}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{5}} \left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{7}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{0}\right)+\:\mathbb{P}\left(\mathrm{G}=\mathrm{4}\right) \\ $$$$=\:\mathrm{C}_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{8}} \left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{8}} +\mathrm{C}_{\mathrm{4}} ^{\mathrm{8}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{4}} \left(\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\right)^{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{8}\right)\:=\:\mathbb{P}\left(``\mathrm{OK}''\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Sortons}\:\mathrm{la}\:\mathrm{calculette}\:: \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{0}\right)\:=\:\mathrm{0\%}\:\mathrm{exactement} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{0\%}\:\mathrm{exactement} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{2}\right)\:=\:\mathrm{0\%}\:\mathrm{exaxtement} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{3}\right)\:\approx\:\mathrm{0},\mathrm{00\%} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{4}\right)\:\approx\:\mathrm{0},\mathrm{00\%} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{5}\right)\:\approx\:\mathrm{0},\mathrm{00\%} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{6}\right)\:\approx\:\mathrm{0},\mathrm{00\%} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{7}\right)\:\approx\:\mathrm{43},\mathrm{51\%} \\ $$$$\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{8}\right)\:\approx\:\mathrm{56},\mathrm{45\%} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{constate}\:\mathrm{d}'\mathrm{abord}\:\mathrm{que}\:\mathrm{la}\:\mathrm{somme} \\ $$$$\mathrm{des}\:\mathrm{probabilites}\:\mathrm{est}\:\mathrm{bien}\:\mathrm{egale}\:\mathrm{a}\:\mathrm{1} \\ $$$$\left(\mathrm{aux}\:\mathrm{erreurs}\:\mathrm{d}'\mathrm{arrondis}\:\mathrm{pres}\right)\:\mathrm{et}\:\mathrm{que} \\ $$$$\mathrm{les}\:\mathrm{probabilites}\:\mathrm{se}\:\mathrm{concentrent}\:\mathrm{tres} \\ $$$$\mathrm{fortement}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{les}\:\mathrm{valeurs}\:\mathrm{X}\:=\:\mathrm{7}\:\mathrm{et}\:\mathrm{X}\:=\:\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{Il}\:\mathrm{y}\:\mathrm{a}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{de}\:\mathrm{tres}\:\mathrm{fortes}\:\mathrm{chances} \\ $$$$\mathrm{qu}'\mathrm{au}\:\mathrm{moins}\:\mathrm{7}\:\mathrm{personnes}\:\mathrm{aient}\:\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{paire}\:\mathrm{de}\:\mathrm{ciseaux}\:\mathrm{convenable}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{L}'\mathrm{esperance}\:\mathrm{mathematique}\:\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right)\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{variable}\:\mathrm{X}\:\mathrm{se}\:\mathrm{calcule}\:\mathrm{alors}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{maniere}\:\mathrm{triviale}\:: \\ $$$$\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right)\:\approx\:\left(\mathrm{X}=\mathrm{7}\right)×\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{7}\right)+\left(\mathrm{X}=\mathrm{8}\right)×\mathbb{P}\left(\mathrm{X}=\mathrm{8}\right) \\ $$$$\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right)\:\approx\:\mathrm{7}×\mathrm{43},\mathrm{51\%}+\mathrm{8}×\mathrm{56},\mathrm{45\%} \\ $$$$\mathrm{E}\left(\mathrm{X}\right)\:\approx\:\mathrm{7},\mathrm{56} \\ $$

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