Question Number 147176 by Lewis junior last updated on 18/Jul/21
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 18/Jul/21
![(1) (a) Soit x∈R_+ ^∗ . −Etude de F : La fonction ϕ : t⇝((e^(−xt) sint)/t) est continue par morceaux sur ]0;+∞[. En 0 : ∣((e^(−xt) sint)/t)∣ ∼ e^(−xt) →_(t→0) 1 donc la fonction ϕ est prolongeable par continuite en 0 et l′integrale converge. En +∞ : la fonction sin est de classe C^1 sur R_+ et sa derivee est cos, qui est bornee (en valeurs absolues) par 1. Donc l′inegalite des accroissements finis entre 0 et t∈R_+ ^∗ s′ecrit ∣sin(t) − sin(0)∣≤ 1×∣t−0∣ Ainsi, en divisant par t > 0 : ((∣sint∣)/t) ≤ 1 Et donc ∣ϕ(t)∣ ≤ e^(−xt) , qui est integrable au voisinage de +∞, d′apres les criteres des exponentielles (x>0). Conclusion : l′integrale ∫_0 ^(+∞) ((e^(−xt) sint)/t)dt est absolument convergente, donc convergente, et F(x) existe. F est definie sur R_+ ^∗ . (b) Soit a un reel strictement positif. Appliquons le theoreme de Leibniz de derivation des integrales dependant d′un parametre sur l′intervalle D = [a;+∞[, qui nous donne directement que la fonction est de classe C^1 (et donc continue). Soit h : [a;+∞[×]0;+∞[→R definie par h(x,t) = ((e^(−xt) sint)/t) −Pour tout t∈]0;+∞[, la fonction x⇝h(x,t) est C^1 sur [a;+∞[ car l′exponentielle l′est. −Pour tout x∈[a;+∞[, la fonction t⇝h(x,t) est integrable sur ]0;+∞[ d′apres la question (a). −Pour tout x∈[a;+∞[, la fonction t⇝(∂h/∂x)(x,t) = ((−te^(−xt) sint)/t) = −e^(xt) sint est continue par morceaux sur ]0;+∞[. −La fonction ϕ(t) = e^(−at) est integrable sur ]0;+∞[ d′apres le critere des exponentielles (a>0) et ∀ (x,t)[a;∞[×∈]0;+∞[ ∣(∂h/∂x)(x,t)∣ = ∣sint∣e^(−xt) ≤ e^(−at) = ϕ(t) Donc, d′apres le theoreme de derivation, la fonction F est de classe C^1 sur [a;+∞[ et F′(x) = −∫_0 ^∞ e^(−xt) sint dt (c) Nous avons vu que ∣((e^(−xt) sint)/t)∣ ≤ e^(−xt) Donc ∣F(x)∣ ≤ ∫_0 ^(+∞) ∣((e^(−xt) sint)/t)∣ dt ≤ ∫_0 ^(+∞) e^(−xt) dt = (1/x) →_(x→+∞) 0 Par majoration lim_(x→+∞) F(x) = 0 ...to be continued...](Q147186.png)
$$\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{Soit}\:{x}\in\mathbb{R}_{+} ^{\ast} . \\ $$$$ \\ $$$$−\mathrm{Etude}\:\mathrm{de}\:\mathrm{F}\:: \\ $$$$ \\ $$$$\:\mathrm{La}\:\mathrm{fonction}\:\varphi\::\:{t}\rightsquigarrow\frac{{e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}}\:\mathrm{est}\:\mathrm{continue} \\ $$$$\left.\mathrm{par}\:\mathrm{morceaux}\:\mathrm{sur}\:\right]\mathrm{0};+\infty\left[.\right. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{0}\::\:\mid\frac{{e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}}\mid\:\sim\:{e}^{−{xt}} \:\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\rightarrow}\:\mathrm{1}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{fonction}\:\varphi\:\mathrm{est}\:\mathrm{prolongeable}\:\mathrm{par} \\ $$$$\mathrm{continuite}\:\mathrm{en}\:\mathrm{0}\:\mathrm{et}\:\mathrm{l}'\mathrm{integrale}\:\mathrm{converge}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{En}\:+\infty\::\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{classe}\:\mathscr{C}^{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{sur}\:\mathbb{R}_{+} \:\mathrm{et}\:\mathrm{sa}\:\mathrm{derivee}\:\mathrm{est}\:\mathrm{cos},\:\mathrm{qui}\:\mathrm{est} \\ $$$$\:\mathrm{bornee}\:\left(\mathrm{en}\:\mathrm{valeurs}\:\mathrm{absolues}\right)\:\mathrm{par}\:\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{Donc}\:\mathrm{l}'\mathrm{inegalite}\:\mathrm{des}\:\mathrm{accroissements} \\ $$$$\mathrm{finis}\:\mathrm{entre}\:\mathrm{0}\:\mathrm{et}\:{t}\in\mathbb{R}_{+} ^{\ast} \:\mathrm{s}'\mathrm{ecrit} \\ $$$$\mid\mathrm{sin}\left(\mathrm{t}\right)\:−\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{0}\right)\mid\leqslant\:\mathrm{1}×\mid{t}−\mathrm{0}\mid \\ $$$$\mathrm{Ainsi},\:\mathrm{en}\:\mathrm{divisant}\:\mathrm{par}\:{t}\:>\:\mathrm{0}\::\:\frac{\mid\mathrm{sin}{t}\mid}{{t}}\:\leqslant\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Et}\:\mathrm{donc}\:\mid\varphi\left({t}\right)\mid\:\leqslant\:{e}^{−{xt}} ,\:\mathrm{qui}\:\mathrm{est}\:\mathrm{integrable} \\ $$$$\mathrm{au}\:\mathrm{voisinage}\:\mathrm{de}\:+\infty,\:\mathrm{d}'\mathrm{apres}\:\mathrm{les}\:\mathrm{criteres} \\ $$$$\mathrm{des}\:\mathrm{exponentielles}\:\left({x}>\mathrm{0}\right). \\ $$$$\mathrm{Conclusion}\::\:\mathrm{l}'\mathrm{integrale}\:\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{{e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}}{dt} \\ $$$$\mathrm{est}\:\mathrm{absolument}\:\mathrm{convergente},\:\mathrm{donc} \\ $$$$\mathrm{convergente},\:\mathrm{et}\:\mathrm{F}\left({x}\right)\:\mathrm{existe}.\:\mathrm{F}\:\mathrm{est} \\ $$$$\mathrm{definie}\:\mathrm{sur}\:\mathbb{R}_{+} ^{\ast} . \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right)\:\mathrm{Soit}\:{a}\:\mathrm{un}\:\mathrm{reel}\:\mathrm{strictement}\:\mathrm{positif}. \\ $$$$\mathrm{Appliquons}\:\mathrm{le}\:\mathrm{theoreme}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Leibniz} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{derivation}\:\mathrm{des}\:\mathrm{integrales}\:\mathrm{dependant} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{un}\:\mathrm{parametre}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{l}'\mathrm{intervalle} \\ $$$${D}\:=\:\left[{a};+\infty\left[,\:\mathrm{qui}\:\mathrm{nous}\:\mathrm{donne}\right.\right. \\ $$$$\mathrm{directement}\:\mathrm{que}\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\: \\ $$$$\mathrm{classe}\:\mathscr{C}^{\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{et}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{continue}\right). \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Soit}\:{h}\::\:\left[{a};+\infty\left[×\right]\mathrm{0};+\infty\left[\rightarrow\mathbb{R}\:\mathrm{definie}\:\mathrm{par}\right.\right. \\ $$$${h}\left({x},{t}\right)\:=\:\frac{{e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}} \\ $$$$\: \\ $$$$\left.−\mathrm{Pour}\:\mathrm{tout}\:{t}\in\right]\mathrm{0};+\infty\left[,\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\right. \\ $$$${x}\rightsquigarrow{h}\left({x},{t}\right)\:\mathrm{est}\:\mathscr{C}^{\mathrm{1}} \:\:\mathrm{sur}\:\left[{a};+\infty\left[\:\mathrm{car}\right.\right. \\ $$$$\mathrm{l}'\mathrm{exponentielle}\:\mathrm{l}'\mathrm{est}. \\ $$$$−\mathrm{Pour}\:\mathrm{tout}\:{x}\in\left[{a};+\infty\left[,\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\right.\right. \\ $$$$\left.{t}\rightsquigarrow{h}\left({x},{t}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{integrable}\:\:\mathrm{sur}\:\right]\mathrm{0};+\infty\left[\right. \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{apres}\:\mathrm{la}\:\mathrm{question}\:\left(\mathrm{a}\right). \\ $$$$−\mathrm{Pour}\:\mathrm{tout}\:{x}\in\left[{a};+\infty\left[,\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\right.\right. \\ $$$${t}\rightsquigarrow\frac{\partial{h}}{\partial{x}}\left({x},{t}\right)\:=\:\frac{−{te}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}}\:=\:−{e}^{{xt}} \mathrm{sin}{t}\:\mathrm{est} \\ $$$$\left.\mathrm{continue}\:\mathrm{par}\:\mathrm{morceaux}\:\mathrm{sur}\:\right]\mathrm{0};+\infty\left[.\right. \\ $$$$−\mathrm{La}\:\mathrm{fonction}\:\varphi\left({t}\right)\:=\:{e}^{−{at}} \mathrm{est}\:\mathrm{integrable} \\ $$$$\left.\mathrm{sur}\:\right]\mathrm{0};+\infty\left[\:\mathrm{d}'\mathrm{apres}\:\mathrm{le}\:\mathrm{critere}\:\mathrm{des}\right. \\ $$$$\mathrm{exponentielles}\:\left({a}>\mathrm{0}\right)\:\mathrm{et} \\ $$$$\forall\:\left({x},{t}\right)\left[{a};\infty\left[×\in\right]\mathrm{0};+\infty\left[\right.\right. \\ $$$$\mid\frac{\partial{h}}{\partial{x}}\left({x},{t}\right)\mid\:=\:\mid\mathrm{sin}{t}\mid{e}^{−{xt}} \:\leqslant\:{e}^{−{at}} \:=\:\varphi\left({t}\right) \\ $$$$\mathrm{Donc},\:\mathrm{d}'\mathrm{apres}\:\mathrm{le}\:\mathrm{theoreme}\:\mathrm{de}\:\mathrm{derivation}, \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{F}\:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{classe}\:\mathscr{C}^{\mathrm{1}} \:\mathrm{sur} \\ $$$$\left[{a};+\infty\left[\:\mathrm{et}\:\mathrm{F}'\left({x}\right)\:\:=\:−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}\:{dt}\right.\right. \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{c}\right) \\ $$$$\mathrm{Nous}\:\mathrm{avons}\:\mathrm{vu}\:\mathrm{que}\:\mid\frac{{e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}}\mid\:\leqslant\:{e}^{−{xt}} \\ $$$$\mathrm{Donc}\:\mid\mathrm{F}\left({x}\right)\mid\:\leqslant\:\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \mid\frac{{e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}}\mid\:{dt} \\ $$$$\leqslant\:\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} {e}^{−{xt}} \:{dt}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\rightarrow}\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Par}\:\mathrm{majoration}\:\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$...\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$$$ \\ $$