Question Number 147209 by alcohol last updated on 18/Jul/21
Commented by Ar Brandon last updated on 19/Jul/21
![1.∫_(−a) ^a f(x)dx=∫_(−a) ^0 f(x)dx+∫_0 ^a f(x)dx Pour ∫_(−a) ^0 f(x)dx, posons u=−x ⇒du=−dx ⇒∫_(−a) ^0 f(x)dx=−∫_a ^0 f(−u)du=∫_0 ^a f(−u)du=∫_0 ^a f(u)du ⇒∫_(−a) ^a f(x)dx=∫_0 ^a f(x)dx+∫_0 ^a f(x)dx=2∫_0 ^a f(x)dx 2. A_n (F)=(1/π)∫_(−π) ^π F(x)sin(nx)dx F(x) impaire , sin(nx) impaire ⇒F(x)sin(x) paire ⇒A_n (F)=(1/π)∫_(−π) ^π F(x)sin(nx)dx=(2/π)∫_0 ^π F(x)sin(nx)dx ⇒A_n (F)=(2/π)[∫_0 ^(π/2) xsin(nx)dx+∫_(π/2) ^π (π−x)sin(nx)dx] Pour ∫_(π/2) ^π (π−x)sin(nx)dx, u=π−x ⇒du=−dx ⇒∫_(π/2) ^π (π−x)sin(nx)dx=∫_0 ^(π/2) usin(nπ−nu))du = { ((∫_0 ^(π/2) usin(−nu)du si n pair)),((∫_0 ^(π/2) usin(nu)du si n impair)) :}=(−1)^(n+1) ∫_0 ^(π/2) usin(nu)du ⇒A_n (F)=(2/π)[∫_0 ^(π/2) xsin(nx)dx+(−1)^(n+1) ∫_0 ^(π/2) xsin(nx)dx] =(2/π)(1−(−1)^n )∫_0 ^(π/2) xsin(nx)dx 3. A_(2n) (F)=(2/π)(1−(−1)^(2n) )∫_0 ^(π/2) xsin(nx)dx= determinant ((0)), (−1)^(2n) =(1)^n =1 4. A_(2n+1) (F)=(2/π)(1−(−1)^(2n+1) )∫_0 ^(π/2) xsin((2n+1)x)dx =(4/π)∫_0 ^(π/2) xsin((2n+1)x)dx { ((u(x)=x)),((v′(x)=sin((2n+1)x))) :} ⇒ { ((u′(x)=1)),((v(x)=−((cos((2n+1)x))/(2n+1)))) :} A_(2n+1) (F)=(4/π)[−((xcos((2n+1)x))/(2n+1))+(1/(2n+1))∫cos((2n+1)x)dx]_0 ^(π/2) =(4/π)∙(1/((2n+1)))∫_0 ^(π/2) cos((2n+1)x)dx =(4/π)∙(1/((2n+1)^2 ))[sin((2n+1)x)]_0 ^(π/2) =((4(−1)^n )/(π(2n+1)^2 )) 5. F(x)=Σ_(n=0) ^(+∞) A_n (F)sin(nx) =A_0 (F)sin(0)+A_1 (F)sin(x)+A_2 (F)sin(2x)+∙∙∙ A_0 (F)=0, A_2 (F)=0, A_(2n) (F)=0 ⇒F(x)=Σ_(n=0) ^(+∞) A_(2n+1) (F)sin((2n+1)x) =Σ_(n=0) ^(+∞) ((4(−1)^n )/(π(2n+1)^2 ))sin((2n+1)x) Or F(x)= { ((x si 0≤x<(π/2))),((π−x si (π/2)≤x≤π)) :} Prenons F(x)=π−x ⇒π−x=Σ_(n=0) ^(+∞) ((4(−1)^n )/(π(2n+1)^2 ))sin((2n+1)x) Posons x=(π/2) ⇒(π/2)=Σ_(n=0) ^(+∞) ((4(−1)^n )/(π(2n+1)^2 ))sin((2n+1)(π/2))=Σ_(n=0) ^(+∞) ((4(−1)^n ×(−1)^n )/(π(2n+1)^2 )) ⇒Σ_(n=0) ^(+∞) (1/((2n+1)^2 ))=(π^2 /8) b. Σ_(n=1) ^(+∞) (1/n^2 )=1+(1/2^2 )+(1/3^2 )+∙∙∙=(1+(1/3^2 )+∙∙∙)+(1/2^2 )(1+(1/2^2 )+(1/3^2 )+∙∙∙) =Σ_(n=0) ^(+∞) (1/((2n+1)^2 ))+(1/2^2 )Σ_(n=1) ^(+∞) (1/n^2 ) ⇒Σ_(n=1) ^(+∞) (1/n^2 )=(4/3)Σ_(n=0) ^(+∞) (1/((2n+1)^2 ))=(4/3)×(π^2 /8)=(π^2 /6) Σ_(n=1) ^(+∞) (((−1)^(n−1) )/n^2 )=1−(1/2^2 )+(1/3^2 )−(1/4^2 )+∙∙∙ =(1+(1/3^2 )+∙∙∙)−(1/2^2 )(1+(1/2^2 )+∙∙∙)=(π^2 /8)−(1/4)((π^2 /6))=(π^2 /(12))](Q147255.png)
$$\mathrm{1}.\int_{−\mathrm{a}} ^{\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int_{−\mathrm{a}} ^{\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{Pour}\:\int_{−\mathrm{a}} ^{\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx},\:\mathrm{posons}\:\mathrm{u}=−\mathrm{x}\:\Rightarrow\mathrm{du}=−\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\int_{−\mathrm{a}} ^{\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=−\int_{\mathrm{a}} ^{\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(−\mathrm{u}\right)\mathrm{du}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(−\mathrm{u}\right)\mathrm{du}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{u}\right)\mathrm{du} \\ $$$$\Rightarrow\int_{−\mathrm{a}} ^{\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{2}.\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\pi}\int_{−\pi} ^{\pi} \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{impaire}\:,\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\:\mathrm{impaire}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{paire} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\pi}\int_{−\pi} ^{\pi} \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{2}}{\pi}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\pi}\left[\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}+\int_{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\pi} \left(\pi−\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}\right] \\ $$$$\mathrm{Pour}\:\int_{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\pi} \left(\pi−\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx},\:\mathrm{u}=\pi−\mathrm{x}\:\Rightarrow\mathrm{du}=−\mathrm{dx} \\ $$$$\left.\Rightarrow\int_{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\pi} \left(\pi−\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{usin}\left(\mathrm{n}\pi−\mathrm{nu}\right)\right)\mathrm{du} \\ $$$$=\begin{cases}{\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{usin}\left(−\mathrm{nu}\right)\mathrm{du}\:\mathrm{si}\:\mathrm{n}\:\mathrm{pair}}\\{\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{usin}\left(\mathrm{nu}\right)\mathrm{du}\:\mathrm{si}\:\mathrm{n}\:\mathrm{impair}}\end{cases}=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{usin}\left(\mathrm{nu}\right)\mathrm{du} \\ $$$$ \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\pi}\left[\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{2}}{\pi}\left(\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \right)\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{3}.\:\mathrm{A}_{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\pi}\left(\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2n}} \right)\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}=\begin{array}{|c|}{\mathrm{0}}\\\hline\end{array},\:\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2n}} =\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} =\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{4}.\:\mathrm{A}_{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\pi}\left(\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \right)\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{4}}{\pi}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}}\\{\mathrm{v}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)}\end{cases}\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{u}'\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}}\\{\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)=−\frac{\mathrm{cos}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{4}}{\pi}\left[−\frac{\mathrm{xcos}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\int\mathrm{cos}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{4}}{\pi}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{4}}{\pi}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left[\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} =\frac{\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{5}.\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{+\infty} \mathrm{A}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{F}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{A}_{\mathrm{0}} \left(\mathrm{F}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{F}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{F}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)+\centerdot\centerdot\centerdot \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{0}} \left(\mathrm{F}\right)=\mathrm{0},\:\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{F}\right)=\mathrm{0},\:\mathrm{A}_{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{F}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{+\infty} \mathrm{A}_{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{F}\right)\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{Or}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\begin{cases}{\mathrm{x}\:\mathrm{si}\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{x}<\frac{\pi}{\mathrm{2}}}\\{\pi−\mathrm{x}\:\mathrm{si}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\pi}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{Prenons}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\pi−\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\pi−\mathrm{x}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{Posons}\:\mathrm{x}=\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} ×\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{b}.\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\centerdot\centerdot\centerdot=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\centerdot\centerdot\centerdot\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\centerdot\centerdot\centerdot\right) \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{+\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }+\centerdot\centerdot\centerdot \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\centerdot\centerdot\centerdot\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\centerdot\centerdot\centerdot\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}} \\ $$
Answered by puissant last updated on 19/Jul/21
$$\left.\mathrm{5}\right)\: \\ $$$$\left.\mathrm{a}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{F}\right)\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right) \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{A}_{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{F}\right)\:\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{posons}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\pi−\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\:\pi−\mathrm{x}=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{posons}\:\:\mathrm{x}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}.. \\ $$$$\Rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:;\:\forall\:\mathrm{n}\:\in\:\mathbb{N} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\pi}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{4}}{\pi}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{soit}\:\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}... \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right) \\ $$$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }+........ \\ $$$$=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }+....\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }+.....\right) \\ $$$$\Rightarrow\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}} \\ $$$$\Rightarrow\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{soit}\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}... \\ $$$$\left.\mathrm{c}\right) \\ $$$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=\:\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }+...... \\ $$$$=\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{2}} }+....\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} }+....\right) \\ $$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{8}}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{24}}\:=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}.. \\ $$$$\mathrm{soit}\:\underset{\mathrm{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}.... \\ $$
Commented by alcohol last updated on 19/Jul/21
$${merci}\: \\ $$$${la}\:\mathrm{1},\mathrm{2},\mathrm{3},\mathrm{4}\:{pardon} \\ $$
Answered by puissant last updated on 19/Jul/21
![1) ∫_(−a) ^a f(x)dx=∫_(−a) ^0 f(x)dx+∫_0 ^( a) f(x)dx pour ∫_(−a) ^( 0) f(x)dx , posons t=−x ⇒ dt=−dx ⇒∫_(−a) ^( 0) f(x)dx=∫_0 ^( a) f(−t)dt=∫_0 ^( a) f(x)dx car la fonction est paire et les vaiables sont muettes.. ⇒∫_(−a) ^( a) f(x)dx=∫_0 ^( a) f(x)dx+∫_0 ^( a) f(x)dx=2∫_0 ^( a) f(x)dx.. 2) A_n (F)=(1/π)∫_(−π) ^( π) F(x)sin(nx)dx F(x) est impair et sin(nx) est impair donc F(x)sin(nx) est paire, ainsi on a: A_n (F)=(2/π)∫_0 ^( π) F(x)sin(nx)dx ⇒ A_n (F)=(2/π)∫_0 ^( (π/2)) xsin(nx)dx+(2/π)∫_(π/2) ^( π) (π−x)sin(nx)dx disons Q=∫_(π/2) ^( π) (π−x)sin(nx)dx posons u=π−x ⇒ du=−dx Q=−∫_(π/2) ^( 0) usin(nπ−nu)du=∫_0 ^( (π/2)) usin(nπ−nu)du →si n paire, Q=∫_0 ^(π/2) usin(−nu)du → si n impaire, Q=∫_0 ^(π/2) usin(nu)du d′ou Q=(−1)^(n+1) ∫_0 ^(π/2) usin(nu)du A_n (F)=(2/π)(∫_0 ^(π/2) xsin(nx)dx+(−1)^(n+1) ∫_0 ^(π/2) xsin(nx)dx) soit A_n (F)=(2/π)(1−(−1)^n )∫_0 ^(π/2) xsin(nx)dx... 3) A_(2n) (F)=(2/π)(1−(−1)^(2n) )∫_0 ^(π/2) xsin(nx)dx=0 car 1−(−1)^(2n) =1−1=0.. 4) A_(2n+1) (F)=(2/π)(1−(−1)^(2n+1) )∫_0 ^(π/2) xsin((2n+1)x)dx =(4/π)∫_0 ^(π/2) xsin((2n+1)x)dx alors, posons { ((u=x)),((v′=sin((2n+1)x))) :}⇒ { ((u′=1)),((v=−(1/(2n+1))cos((2n+1)x))) :} A_(2n+1) (F)=(4/π)[−(x/(2n+1))cos((2n+1)x)]_0 ^(π/2) +(4/(π(2n+1)))∫_0 ^( (π/2)) cos((2n+1)x)dx =(4/(π(2n+1)))∫_0 ^( (π/2)) cos((2n+1)x)dx =(4/(π(2n+1)^2 ))[sin((2n+1)x)]_0 ^(π/2) =((4(−1)^n )/(π(2n+1)^2 )).. car sin((2n+1)(π/2))=(−1)^n](Q147244.png)
$$\left.\mathrm{1}\right) \\ $$$$\int_{−\mathrm{a}} ^{\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int_{−\mathrm{a}} ^{\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{pour}\:\int_{−\mathrm{a}} ^{\:\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\:,\:\mathrm{posons}\:\:\:\mathrm{t}=−\mathrm{x}\:\Rightarrow\:\mathrm{dt}=−\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\int_{−\mathrm{a}} ^{\:\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(−\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}\: \\ $$$$\mathrm{car}\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{est}\:\mathrm{paire}\:\mathrm{et}\:\mathrm{les}\:\mathrm{vaiables}\:\mathrm{sont}\:\mathrm{muettes}.. \\ $$$$\Rightarrow\int_{−\mathrm{a}} ^{\:\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{a}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}.. \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right) \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\pi}\int_{−\pi} ^{\:\pi} \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{impair}\:\mathrm{et}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{impair}\:\mathrm{donc}\: \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{paire},\:\mathrm{ainsi}\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}: \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\pi}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\pi} \mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\pi}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{2}}{\pi}\int_{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\:\pi} \left(\pi−\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{disons}\:\mathrm{Q}=\int_{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\:\pi} \left(\pi−\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{posons}\:\:\mathrm{u}=\pi−\mathrm{x}\:\Rightarrow\:\mathrm{du}=−\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{Q}=−\int_{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} ^{\:\mathrm{0}} \mathrm{usin}\left(\mathrm{n}\pi−\mathrm{nu}\right)\mathrm{du}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{usin}\left(\mathrm{n}\pi−\mathrm{nu}\right)\mathrm{du} \\ $$$$\rightarrow\mathrm{si}\:\:\mathrm{n}\:\mathrm{paire},\:\:\mathrm{Q}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{usin}\left(−\mathrm{nu}\right)\mathrm{du} \\ $$$$\rightarrow\:\mathrm{si}\:\:\mathrm{n}\:\mathrm{impaire},\:\:\mathrm{Q}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{usin}\left(\mathrm{nu}\right)\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{ou}\:\:\mathrm{Q}=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{usin}\left(\mathrm{nu}\right)\mathrm{du} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\pi}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}+\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}\right) \\ $$$$\mathrm{soit}\:\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\pi}\left(\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \right)\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}... \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{2n}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\pi}\left(\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2n}} \right)\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\mathrm{nx}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{car}\:\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2n}} =\mathrm{1}−\mathrm{1}=\mathrm{0}.. \\ $$$$\left.\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{2}}{\pi}\left(\mathrm{1}−\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \right)\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{4}}{\pi}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{xsin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\mathrm{alors},\:\mathrm{posons}\:\begin{cases}{\mathrm{u}=\mathrm{x}}\\{\mathrm{v}'=\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)}\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{u}'=\mathrm{1}}\\{\mathrm{v}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{cos}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{F}\right)=\frac{\mathrm{4}}{\pi}\left[−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}\mathrm{cos}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} +\frac{\mathrm{4}}{\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{4}}{\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}\int_{\mathrm{0}} ^{\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{4}}{\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left[\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{4}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\pi\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }..\:\:\:\mathrm{car}\:\:\mathrm{sin}\left(\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right)=\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \\ $$