Question Number 147254 by Ar Brandon last updated on 19/Jul/21
![Soient a∈]0, 1[ et b∈R. Soit f une application de R dans lui-me^ me, de classe C^1 , telle que pour tout re^ el x, f(f(x))=ax+b. 1. Montrer que pour tout re^ el x, f(ax+b)=af(x)+b. En de^ duire que pour tout re^ el x, f ′(ax+b)=f ′(x). 2. Soit (u_n )_(n∈N) une suite re^ elle telle que pour tout n∈N, u_(n+1) =au_n +b. Montrer que u_n est convergente de limite l=(b/(1−a)) 3. Montrer que f ′ est constante. En de^ duire l′expression de f. 4. Que faire si a∈]1,+∞[ ?](Q147254.png)
$$\left.\mathrm{Soient}\:\mathrm{a}\in\right]\mathrm{0},\:\mathrm{1}\left[\:\mathrm{et}\:\mathrm{b}\in\mathbb{R}.\:\mathrm{Soit}\:\mathrm{f}\:\mathrm{une}\:\mathrm{application}\:\mathrm{de}\:\mathbb{R}\:\mathrm{dans}\:\mathrm{lui}-\mathrm{m}\hat {\mathrm{e}me},\:\mathrm{de}\:\mathrm{classe}\:\mathrm{C}^{\mathrm{1}} ,\:\mathrm{telle}\:\mathrm{que}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{tout}\:\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}el}\right. \\ $$$$\mathrm{x},\:\mathrm{f}\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{ax}+\mathrm{b}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}.\:\:\mathrm{Montrer}\:\mathrm{que}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{tout}\:\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}el}\:\mathrm{x},\:\mathrm{f}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)=\mathrm{af}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{b}.\:\mathrm{En}\:\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}duire}\:\mathrm{que}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{tout}\:\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}el}\:\mathrm{x}, \\ $$$$\:\:\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{ax}+\mathrm{b}\right)=\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right). \\ $$$$\mathrm{2}.\:\:\mathrm{Soit}\:\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \right)_{\mathrm{n}\in\mathbb{N}} \:\mathrm{une}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{r}\acute {\mathrm{e}elle}\:\mathrm{telle}\:\mathrm{que}\:\mathrm{pour}\:\mathrm{tout}\:\mathrm{n}\in\mathbb{N},\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{au}_{\mathrm{n}} +\mathrm{b}.\:\mathrm{Montrer}\:\mathrm{que}\:\mathrm{u}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{est}\:\mathrm{convergente} \\ $$$$\:\:\mathrm{de}\:\mathrm{limite}\:{l}=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{1}−\mathrm{a}} \\ $$$$\mathrm{3}.\:\:\mathrm{Montrer}\:\mathrm{que}\:\mathrm{f}\:'\:\mathrm{est}\:\mathrm{constante}.\:\mathrm{En}\:\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}duire}\:\mathrm{l}'\mathrm{expression}\:\mathrm{de}\:\mathrm{f}. \\ $$$$\left.\mathrm{4}.\:\:\mathrm{Que}\:\mathrm{faire}\:\mathrm{si}\:\mathrm{a}\in\right]\mathrm{1},+\infty\left[\:\:?\right. \\ $$
Answered by ArielVyny last updated on 19/Jul/21
![1)on a f(f(x))=ax+b x∈R soit x∈R tel que f(x)==→f(0)=b on pose y∈R tel que f(y)=ax+b donc il existe f^(−1) tel que y=f^(−1) (ax+b) on assimile alors l′application a un endomorphisme isomorphe par consequent f est lineaire ∀x∈R (a,b)∈((]0;1[),R) f(ax+b)=f(ax)+f(b) or f(0)=b→f(f(0))=f(b)=b on voit avec la linearite de f que f(ax)=af(x) conclusion f(ax+b)=af(x)+b endeduisons que f′(ax+b)=f′(x) sachant que f est de classe C^1 et de la queation precedente on a : f^( ′) (ax+b)=af^( ′) (ax+b)=af^′ (x) conclusion f^′ (ax+b)=f^′ (x) 2)on a U_(n+1) =aU_n +b ∀n∈N Mtq U_n converge vers l=(b/(1−a)) posons f(ax+b)=U_(n+1) et f(x)=U_n si U_n converve vers l alors U_(n+1) converge aussi donc on f(ax+b)∼_∞ f(x) or l′application est un endomorphisme isomorphe alors ax+b∼x→((ax+b)/x)→1→a+(b/x)→1 (x→+∞) ce qui est logique car a est majore par 1 par consequent on a bien U_n convergeante et lim(U_(n+1) )=lim(aU_n +b) en remplacant on a l=al+b→l−al=b→l=(b/(1−a)) d′ou l=(b/(1−a)) et U_n converge 3)montrons que f^( ′) est constante on sait que f(f(x))=ax+b en derivant chaque membre de l′egalite on a f′(x)f′(f(x))=b cette egalite n′a dd sens que si f′(x)f′(f(x))=cte car b=cte donc il n′est clair que f′(x) depende de x donc le fait que f′(x) soit constant est ineluctable dans ce cas conclusion f′(x) =cte](Q147289.png)
$$ \\ $$$$\left.\mathrm{1}\right){on}\:{a}\:{f}\left({f}\left({x}\right)\right)={ax}+{b}\:\:\:{x}\in\mathbb{R} \\ $$$${soit}\:{x}\in\mathbb{R}\:{tel}\:{que}\:{f}\left({x}\right)==\rightarrow{f}\left(\mathrm{0}\right)={b} \\ $$$${on}\:{pose}\:{y}\in\mathbb{R}\:{tel}\:{que}\:{f}\left({y}\right)={ax}+{b}\: \\ $$$${donc}\:{il}\:{existe}\:{f}^{−\mathrm{1}} \:{tel}\:{que}\:{y}={f}^{−\mathrm{1}} \left({ax}+{b}\right) \\ $$$${on}\:{assimile}\:{alors}\:{l}'{application}\:{a}\:{un}\: \\ $$$${endomorphisme}\:{isomorphe}\:{par}\:{consequent} \\ $$$${f}\:{est}\:{lineaire}\: \\ $$$$\forall{x}\in\mathbb{R}\:\left({a},{b}\right)\in\left(\left(\right]\mathrm{0};\mathrm{1}\left[\right),\mathbb{R}\right)\:{f}\left({ax}+{b}\right)={f}\left({ax}\right)+{f}\left({b}\right) \\ $$$${or}\:{f}\left(\mathrm{0}\right)={b}\rightarrow{f}\left({f}\left(\mathrm{0}\right)\right)={f}\left({b}\right)={b} \\ $$$${on}\:{voit}\:{avec}\:{la}\:{linearite}\:{de}\:{f}\:{que}\:{f}\left({ax}\right)={af}\left({x}\right) \\ $$$${conclusion}\:{f}\left({ax}+{b}\right)={af}\left({x}\right)+{b} \\ $$$$ \\ $$$${endeduisons}\:{que}\:{f}'\left({ax}+{b}\right)={f}'\left({x}\right) \\ $$$${sachant}\:{que}\:{f}\:{est}\:{de}\:{classe}\:{C}^{\mathrm{1}} \:{et}\:{de}\:{la}\:{queation} \\ $$$${precedente}\:{on}\:{a}\:: \\ $$$${f}^{\:\:'} \left({ax}+{b}\right)={af}^{\:\:'} \left({ax}+{b}\right)={af}^{'} \left({x}\right) \\ $$$${conclusion}\:{f}^{'} \left({ax}+{b}\right)={f}^{'} \left({x}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right){on}\:{a}\:{U}_{{n}+\mathrm{1}} ={aU}_{{n}} +{b}\:\forall{n}\in\mathbb{N} \\ $$$${Mtq}\:{U}_{{n}} \:{converge}\:{vers}\:{l}=\frac{{b}}{\mathrm{1}−{a}}\: \\ $$$${posons}\:{f}\left({ax}+{b}\right)={U}_{{n}+\mathrm{1}} \:{et}\:{f}\left({x}\right)={U}_{{n}} \\ $$$${si}\:{U}_{{n}} {converve}\:{vers}\:{l}\:{alors}\:{U}_{{n}+\mathrm{1}} {converge}\:{aussi} \\ $$$${donc}\:{on}\:{f}\left({ax}+{b}\right)\underset{\infty} {\sim}{f}\left({x}\right)\:{or}\:{l}'{application}\:{est}\: \\ $$$${un}\:{endomorphisme}\:{isomorphe}\:{alors} \\ $$$${ax}+{b}\sim{x}\rightarrow\frac{{ax}+{b}}{{x}}\rightarrow\mathrm{1}\rightarrow{a}+\frac{{b}}{{x}}\rightarrow\mathrm{1}\:\left({x}\rightarrow+\infty\right) \\ $$$${ce}\:{qui}\:{est}\:{logique}\:{car}\:{a}\:{est}\:{majore}\:{par}\:\mathrm{1} \\ $$$${par}\:{consequent}\:{on}\:{a}\:{bien}\:{U}_{{n}} \:{convergeante}\:{et} \\ $$$${lim}\left({U}_{{n}+\mathrm{1}} \right)={lim}\left({aU}_{{n}} +{b}\right) \\ $$$${en}\:{remplacant}\:{on}\:{a}\: \\ $$$${l}={al}+{b}\rightarrow{l}−{al}={b}\rightarrow{l}=\frac{{b}}{\mathrm{1}−{a}} \\ $$$${d}'{ou}\:{l}=\frac{{b}}{\mathrm{1}−{a}}\:{et}\:{U}_{{n}} \:{converge} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{3}\right){montrons}\:{que}\:{f}^{\:\:'} \:{est}\:{constante} \\ $$$${on}\:{sait}\:{que}\:{f}\left({f}\left({x}\right)\right)={ax}+{b} \\ $$$${en}\:{derivant}\:{chaque}\:{membre}\:{de}\:{l}'{egalite}\:{on}\:{a} \\ $$$${f}'\left({x}\right){f}'\left({f}\left({x}\right)\right)={b}\:{cette}\:{egalite}\:{n}'{a}\:{dd}\:{sens}\:{que} \\ $$$${si}\:{f}'\left({x}\right){f}'\left({f}\left({x}\right)\right)={cte}\:{car}\:{b}={cte}\:{donc}\:{il}\:{n}'{est} \\ $$$${clair}\:{que}\:{f}'\left({x}\right)\:{depende}\:{de}\:{x}\:{donc}\:{le}\:{fait}\:{que} \\ $$$${f}'\left({x}\right)\:{soit}\:{constant}\:{est}\:{ineluctable}\:{dans}\:{ce}\:{cas} \\ $$$${conclusion}\:{f}'\left({x}\right)\:={cte} \\ $$