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Question Number 147254 by Ar Brandon last updated on 19/Jul/21

Soient a∈]0, 1[ et b∈R. Soit f une application de R dans lui-me^� me, de classe C^1 , telle que pour tout re^� el x, f(f(x))=ax+b. 1. Montrer que pour tout re^� el x, f(ax+b)=af(x)+b. En de^� duire que pour tout re^� el x, f ′(ax+b)=f ′(x). 2. Soit (u_n )_(n∈N) une suite re^� elle telle que pour tout n∈N, u_(n+1) =au_n +b. Montrer que u_n est convergente de limite l=(b/(1−a)) 3. Montrer que f ′ est constante. En de^� duire l′expression de f. 4. Que faire si a∈]1,+∞[ ?

Soienta∈]0,1[etb∈R.SoitfuneapplicationdeRdanslui−meme^,declasseC1,tellequepourtoutreel´x,f(f(x))=ax+b.1.Montrerquepourtoutreel´x,f(ax+b)=af(x)+b.Endeduire´quepourtoutreel´x,f′(ax+b)=f′(x).2.Soit(un)n∈Nunesuitereelle´tellequepourtoutn∈N,un+1=aun+b.Montrerqueunestconvergentedelimitel=b1−a3.Montrerquef′estconstante.Endeduire´l′expressiondef.4.Quefairesia∈]1,+∞[?

Answered by ArielVyny last updated on 19/Jul/21

1)on a f(f(x))=ax+b x∈R soit x∈R tel que f(x)==→f(0)=b on pose y∈R tel que f(y)=ax+b donc il existe f^(−1) tel que y=f^(−1) (ax+b) on assimile alors l′application a un endomorphisme isomorphe par consequent f est lineaire ∀x∈R (a,b)∈((]0;1[),R) f(ax+b)=f(ax)+f(b) or f(0)=b→f(f(0))=f(b)=b on voit avec la linearite de f que f(ax)=af(x) conclusion f(ax+b)=af(x)+b endeduisons que f′(ax+b)=f′(x) sachant que f est de classe C^1 et de la queation precedente on a : f^( ′) (ax+b)=af^( ′) (ax+b)=af^′ (x) conclusion f^′ (ax+b)=f^′ (x) 2)on a U_(n+1) =aU_n +b ∀n∈N Mtq U_n converge vers l=(b/(1−a)) posons f(ax+b)=U_(n+1) et f(x)=U_n si U_n converve vers l alors U_(n+1) converge aussi donc on f(ax+b)∼_∞ f(x) or l′application est un endomorphisme isomorphe alors ax+b∼x→((ax+b)/x)→1→a+(b/x)→1 (x→+∞) ce qui est logique car a est majore par 1 par consequent on a bien U_n convergeante et lim(U_(n+1) )=lim(aU_n +b) en remplacant on a l=al+b→l−al=b→l=(b/(1−a)) d′ou l=(b/(1−a)) et U_n converge 3)montrons que f^( ′) est constante on sait que f(f(x))=ax+b en derivant chaque membre de l′egalite on a f′(x)f′(f(x))=b cette egalite n′a dd sens que si f′(x)f′(f(x))=cte car b=cte donc il n′est clair que f′(x) depende de x donc le fait que f′(x) soit constant est ineluctable dans ce cas conclusion f′(x) =cte

1)onaf(f(x))=ax+bx∈Rsoitx∈Rtelquef(x)==→f(0)=bonposey∈Rtelquef(y)=ax+bdoncilexistef−1telquey=f−1(ax+b)onassimilealorsl′applicationaunendomorphismeisomorpheparconsequentfestlineaire∀x∈R(a,b)∈((]0;1[),R)f(ax+b)=f(ax)+f(b)orf(0)=b→f(f(0))=f(b)=bonvoitaveclalinearitedefquef(ax)=af(x)conclusionf(ax+b)=af(x)+bendeduisonsquef′(ax+b)=f′(x)sachantquefestdeclasseC1etdelaqueationprecedenteona:f′(ax+b)=af′(ax+b)=af′(x)conclusionf′(ax+b)=f′(x)2)onaUn+1=aUn+b∀n∈NMtqUnconvergeversl=b1−aposonsf(ax+b)=Un+1etf(x)=UnsiUnconverveverslalorsUn+1convergeaussidonconf(ax+b)∼∞f(x)orl′applicationestunendomorphismeisomorphealorsax+b∼x→ax+bx→1→a+bx→1(x→+∞)cequiestlogiquecaraestmajorepar1parconsequentonabienUnconvergeanteetlim(Un+1)=lim(aUn+b)enremplacantonal=al+b→l−al=b→l=b1−ad′oul=b1−aetUnconverge3)montronsquef′estconstanteonsaitquef(f(x))=ax+benderivantchaquemembredel′egaliteonaf′(x)f′(f(x))=bcetteegaliten′addsensquesif′(x)f′(f(x))=ctecarb=ctedonciln′estclairquef′(x)dependedexdonclefaitquef′(x)soitconstantestineluctabledanscecasconclusionf′(x)=cte

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