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Question Number 147349 by bramlexs22 last updated on 20/Jul/21

lim_(x→0) ((x(1−cos x))/(x^2 +x−e^x sin x)) =?

$$\:\:\:\:\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}\:=? \\ $$

Commented by bramlexs22 last updated on 20/Jul/21

Commented by EDWIN88 last updated on 20/Jul/21

via L′Hopital lim_(x→0) ((2x sin^2 ((x/2)))/(x^2 +x−e^x sin x)) = lim_(x→0) ((2sin^2 ((x/2))+x sin x)/(2x+1−(e^x sin x+e^x cos x))) = lim_(x→0) ((2(((1−cos x)/2))+x sin x)/(2x+1−(e^x sin x +e^x cos x)))= lim_(x→0) ((1−cos x+x sin x)/(2x+1−(e^x sin x +e^x cos x))) = lim_(x→0) ((2sin x+x cos x)/(2−(e^x sin x +2e^x cos x−e^x sin x))) = lim_(x→0) ((3 cos x −x sin x)/(−(2e^x cos x −2e^x sin x))) = −(3/(2 )) .✓

$$\mathrm{via}\:\mathrm{L}'\mathrm{Hopital}\: \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2x}\:\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{sin}\:\mathrm{x}}\:= \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2sin}\:^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}−\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)}\:= \\ $$$$\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}−\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)}= \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{2x}+\mathrm{1}−\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\right)}\:= \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{2sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{x}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}{\mathrm{2}−\left(\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\:+\mathrm{2e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)}\:= \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{3}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:−\mathrm{x}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{−\left(\mathrm{2e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\:−\mathrm{2e}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\:\mathrm{x}\right)}\:= \\ $$$$\:\:\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}\:}\:.\checkmark \\ $$

Answered by ArielVyny last updated on 20/Jul/21

cosx∼1−(x^2 /2) e^x sinx∼(1−x)x lim_(x→0) ((x(1−cosx))/(x^2 +x−e^x sinx))=lim_(x→0) ((x(1−1+(x^2 /2)))/(x^2 +x−(x−x^2 ))) =lim_(x→0) ((x^3 /2)/(2x^2 ))=(x^3 /2)×(1/(2x^2 ))=(x/4)=0

$${cosx}\sim\mathrm{1}−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}} \\ $$$${e}^{{x}} {sinx}\sim\left(\mathrm{1}−{x}\right){x} \\ $$$${li}\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {{m}}\frac{{x}\left(\mathrm{1}−{cosx}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}−{e}^{{x}} {sinx}}={li}\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {{m}}\frac{{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\right)}{{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\left({x}−{x}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$={li}\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {{m}}\frac{\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{{x}}{\mathrm{4}}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$

Commented by bramlexs22 last updated on 20/Jul/21

false

$$\mathrm{false}\: \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 20/Jul/21

let f(x)=((x(1−cosx))/(x^2 +x−e^x sinx)) we have 1−cosx∼(x^2 /2) ,e^x ∼1+x ,sinx∼x−(x^3 /6) ⇒ e^x sinx ∼(1+x)(x−(x^3 /6))=x−(x^3 /6)+x^2 −(x^4 /6) ⇒ f(x)∼((x^3 /2)/(x^2 +x−x+(x^3 /6)−x^2 +(x^4 /6)))=((6x^3 )/(2(x^3 +x^4 ))) ⇒f(x)∼(3/(1+x)) ⇒ lim_(x→0) f(x)=3

$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cosx}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}−\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{sinx}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{1}−\mathrm{cosx}\sim\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}\:\:\:,\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \sim\mathrm{1}+\mathrm{x}\:\:\:,\mathrm{sinx}\sim\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \mathrm{sinx}\:\sim\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{x}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{6}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sim\frac{\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}−\mathrm{x}+\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{6}}}=\frac{\mathrm{6x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \right)}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\sim\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{3} \\ $$

Commented by liberty last updated on 20/Jul/21

i think the answer −(3/2)

$${i}\:{think}\:{the}\:{answer}\:−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$

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