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Question Number 147466 by mathmax by abdo last updated on 21/Jul/21

f(x)=x^2 −2x+5 find ∫ ((f(x))/(f^(−1) (x)))dx and ∫ ((f^(−1) (x))/(f(x)))dx

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{find}\:\int\:\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}\:\:\:\mathrm{and}\:\int\:\:\frac{\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx} \\ $$

Answered by EDWIN88 last updated on 21/Jul/21

f(x)=(x−1)^2 +4 ⇒x=±(√(x−4))+1 f^(−1) (x)=1±(√(x−4)) (1) ∫ (((x−1)^2 +4)/(1+(√(x−4)))) dx = let x−4=u^2 →dx=2u du ∫ (((u^2 +3)^2 +4)/(1+u)) (2u du)= 2∫ ((u^4 +6u^3 +13u)/(u+1))= 2∫(u^3 +5u^2 −5u+18−((18)/(u+1)))du= 2((1/4)u^4 +(5/3)u^3 −(5/2)u^2 +18u−18ln (u+1))+c= (1/2)(x−4)^2 +((10)/3)(x−4)^(3/2) −5(x−4)+36(√(x−4))−36 ln (1+(√(x−4)))+c

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\pm\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}+\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}\pm\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\int\:\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}}\:\mathrm{dx}\:= \\ $$$$\mathrm{let}\:\mathrm{x}−\mathrm{4}=\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \:\rightarrow\mathrm{dx}=\mathrm{2u}\:\mathrm{du} \\ $$$$\int\:\frac{\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}}\:\left(\mathrm{2u}\:\mathrm{du}\right)= \\ $$$$\mathrm{2}\int\:\frac{\mathrm{u}^{\mathrm{4}} +\mathrm{6u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{13u}}{\mathrm{u}+\mathrm{1}}= \\ $$$$\mathrm{2}\int\left(\mathrm{u}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5u}+\mathrm{18}−\frac{\mathrm{18}}{\mathrm{u}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{du}= \\ $$$$\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{u}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{3}}\mathrm{u}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}}\mathrm{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{18u}−\mathrm{18ln}\:\left(\mathrm{u}+\mathrm{1}\right)\right)+\mathrm{c}= \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{10}}{\mathrm{3}}\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{3}/\mathrm{2}} −\mathrm{5}\left(\mathrm{x}−\mathrm{4}\right)+\mathrm{36}\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}−\mathrm{36}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\right)+\mathrm{c}\: \\ $$

Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Jul/21

f(x)=y ⇒x=f^(−1) (y) ⇒x^2 −2x+5=y ⇒x^2 −2x+5−y=0 Δ^′ =1−(5−y)=y−4 for y≥4 we get x_1 =1+(√(y−4)) and x_2 =1−(√(y−4)) ⇒f^(−1) (x)=1+(√(x−4)) or f^(−1) (x)=1−(√(x−4)) case1 ∫ ((f(x))/(f^(−1) (x)))dx=∫ ((x^2 −2x+5)/(1+(√(x−4))))dx =_(x−4=y^2 ) ∫ (((4+y^2 )^2 −2(4+y^2 )+5)/(1+y))2ydy =2∫ ((16+8y^2 +y^4 −8−2y^2 +5)/(y+1))ydy =2∫ ((y^5 +6y^3 +13y)/(y+1))dy =_(y+1=t) 2∫ (((t−1)^5 +6(t−1)^3 +13(t−1))/t)dt =2∫ ((Σ_(k=0) ^5 C_5 ^k t^k (−1)^(5−k) +6(t^3 −3t^2 +3t−1)+13t−13)/t)dt =−2Σ_(k=0) ^5 C_5 ^(k ) (−1)^k ∫ t^(k−1) dt+12∫ (t^2 −3t+3−(1/t))dt+2∫(13−((13)/t)dt =−2log∣t∣−2Σ_(k=1) ^5 C_5 ^k (−1)^k (t^k /k) +12{(t^3 /3)−(3/2)t^2 +3t−log∣t∣) +26t−26log∣t∣ +C t=y+1=(√(x−4))+1 ⇒ ∫ ((f(x))/(f^(−1) (x)))dx=−2log∣(√(x−4))+1∣−2Σ_(k=1) ^5 C_5 ^k (((−1)^k )/k)((√(x−4))+1)^k +4(1+(√(x−4)))^3 −18(1+(√(x−4)))^2 +36(1+(√(x−4)))+3(1+(√(x−4))) −log∣1+(√(x−4))∣ +26(1+(√(x−4)))−26log∣1+(√(x−4))∣ +C rest to treat case 2 .....be continued... =

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{y}\:\Rightarrow\mathrm{x}=\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{y}\right)\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}=\mathrm{y}\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}−\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\Delta^{'} \:=\mathrm{1}−\left(\mathrm{5}−\mathrm{y}\right)=\mathrm{y}−\mathrm{4}\:\:\mathrm{for}\:\mathrm{y}\geqslant\mathrm{4}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$\mathrm{x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{y}−\mathrm{4}}\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{y}−\mathrm{4}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\:\mathrm{or}\:\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{case1}\:\int\:\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}=\int\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}+\mathrm{5}}{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}}\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{x}−\mathrm{4}=\mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \:\:\int\:\:\frac{\left(\mathrm{4}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{4}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{5}}{\mathrm{1}+\mathrm{y}}\mathrm{2ydy} \\ $$$$=\mathrm{2}\int\:\:\frac{\mathrm{16}+\mathrm{8y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{y}^{\mathrm{4}} −\mathrm{8}−\mathrm{2y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5}}{\mathrm{y}+\mathrm{1}}\mathrm{ydy} \\ $$$$=\mathrm{2}\int\:\:\frac{\mathrm{y}^{\mathrm{5}} +\mathrm{6y}^{\mathrm{3}} +\mathrm{13y}}{\mathrm{y}+\mathrm{1}}\mathrm{dy}\:=_{\mathrm{y}+\mathrm{1}=\mathrm{t}} \:\:\mathrm{2}\int\:\:\frac{\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}} \:+\mathrm{6}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{13}\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$=\mathrm{2}\int\:\:\:\frac{\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{5}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{5}} ^{\mathrm{k}} \mathrm{t}^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{5}−\mathrm{k}} \:+\mathrm{6}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{3t}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{13t}−\mathrm{13}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\ $$$$=−\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{5}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{5}} ^{\mathrm{k}\:} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \int\:\mathrm{t}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \mathrm{dt}+\mathrm{12}\int\:\:\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3t}+\mathrm{3}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\right)\mathrm{dt}+\mathrm{2}\int\left(\mathrm{13}−\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\right. \\ $$$$=−\mathrm{2log}\mid\mathrm{t}\mid−\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{5}} ^{\mathrm{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\:+\mathrm{12}\left\{\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3t}−\mathrm{log}\mid\mathrm{t}\mid\right) \\ $$$$+\mathrm{26t}−\mathrm{26log}\mid\mathrm{t}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{t}=\mathrm{y}+\mathrm{1}=\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\int\:\:\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right)}\mathrm{dx}=−\mathrm{2log}\mid\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}+\mathrm{1}\mid−\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{5}} \:\mathrm{C}_{\mathrm{5}} ^{\mathrm{k}} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} }{\mathrm{k}}\left(\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{k}} \\ $$$$+\mathrm{4}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{18}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{36}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\right)+\mathrm{3}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\right) \\ $$$$−\mathrm{log}\mid\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\mid\:+\mathrm{26}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\right)−\mathrm{26log}\mid\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{x}−\mathrm{4}}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{treat}\:\mathrm{case}\:\mathrm{2}\:.....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$$$= \\ $$

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