Question Number 147576 by qaz last updated on 22/Jul/21
![(1):: Σ_(i=1) ^n Σ_(j=1) ^n ∣i−j∣=? (2):: Σ_(i=1) ^n Σ_(j=i) ^n (1/j)=? (3):: Σ_(i=1) ^n^2 [(√i)]=?](Q147576.png)
$$\left(\mathrm{1}\right)::\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\underset{\mathrm{j}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mid\mathrm{i}−\mathrm{j}\mid=? \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)::\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\underset{\mathrm{j}=\mathrm{i}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{j}}=? \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)::\:\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } {\sum}}\left[\sqrt{\mathrm{i}}\right]=? \\ $$
Answered by gsk2684 last updated on 22/Jul/21
![i)Σ_(i=1) ^n Σ_(j=1) ^n ∣i−j∣= 0+1+2+3+...+(n−1) +1+0+1+2+...+(n−2) +2+1+0+1+...+(n−3) +...... +(n−2)+(n−3)+...+1 +(n−1)+(n−2)+...+0 =n(0)+2(n−1)(1)+2(n−2)(2)+...2(1)(n−1) =Σ_(j=0) ^(n−1) 2j(n−j) =2{nΣ_(j=0) ^(n−1) j−Σ_(j=0) ^(n−1) j^2 } =2{n(((n−1)(n−1+1))/2)−(((n−1)(n−1+1)(2(n−1)+1))/6)} =2{((n^2 (n−1))/2)−((n(n−1)(2n−1))/6)} =2((n(n−1))/6){3n−2n+1} =((n(n−1)(n+1))/3) Σ_(i=1) ^n Σ_(j=1) ^n ∣i−j∣=((n(n^2 −1))/3) ii)Σ_(i=1) ^n Σ_(j=i) ^n (1/j)=(1/1)+(1/2)+(1/3)+...+(1/n) +(1/2)+(1/3)+...+(1/n) +(1/3)+...+(1/n) +........ +(1/n) =1+1+1+...+1 Σ_(i=1) ^n Σ_(j=i) ^n (1/j)=n iii)Σ_(i=1) ^n^2 [(√i)]=Σ_(i=1^2 ) ^(2^2 −1) 1+Σ_(i=2^2 ) ^(3^2 −1) 2+Σ_(i=3^2 ) ^(4^2 −1) 3+...+Σ_(i=(n−1)^2 ) ^(n^2 −1) (n−1)+[(√n^2 )] =3(1)+5(2)+7(3)+...+(2n−1)(n−1)+n =Σ_(j=1) ^(n−1) j(2j+1)+n =Σ_(j=1) ^(n−1) (2j^2 +j)+n =2Σ_(j=1) ^(n−1) j^2 +Σ_(j=1) ^(n−1) j+n =2(((n−1)(n−1+1)(2(n−1)+1))/6)+(((n−1)(n−1+1))/2)+n =((n(n−1)(2n−1))/3)+((n(n−1))/2)+n =n{(((n−1)(2n−1))/3)+(((n−1))/2)+1} =(n/6){2(2n^2 −3n+1)+3(n−1)+6} =(n/6){4n^2 −6n+2+3n−3+6} =(n/6){4n^2 −3n+5} Σ_(i=1) ^n^2 [(√i)]=((n(4n^2 −3n+5))/6)](Q147579.png)
$$\left.{i}\right)\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mid{i}−{j}\mid=\:\:\:\:\mathrm{0}+\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+...+\left({n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{1}+\mathrm{0}+\mathrm{1}+\mathrm{2}+...+\left({n}−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{2}+\mathrm{1}+\mathrm{0}+\mathrm{1}+...+\left({n}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+...... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\left({n}−\mathrm{2}\right)+\left({n}−\mathrm{3}\right)+...+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\left({n}−\mathrm{1}\right)+\left({n}−\mathrm{2}\right)+...+\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={n}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}\right)+...\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{2}{j}\left({n}−{j}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left\{{n}\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}−\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}^{\mathrm{2}} \right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left\{{n}\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left\{\frac{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\left\{\mathrm{3}{n}−\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mid{i}−{j}\mid=\frac{{n}\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$\left.{ii}\right)\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}={i}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{j}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+...+\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+...+\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+...+\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+........ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+...+\mathrm{1} \\ $$$$\:\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}={i}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{j}}={n} \\ $$$$ \\ $$$$\left.{iii}\right)\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} } {\sum}}\left[\sqrt{{i}}\right]=\underset{{i}=\mathrm{1}^{\mathrm{2}} } {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{1}+\underset{{i}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} } {\overset{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{2}+\underset{{i}=\mathrm{3}^{\mathrm{2}} } {\overset{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{3}+...+\underset{{i}=\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\left[\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{3}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{5}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{7}\left(\mathrm{3}\right)+...+\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right)+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}\left(\mathrm{2}{j}+\mathrm{1}\right)+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left(\mathrm{2}{j}^{\mathrm{2}} +{j}\right)+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}^{\mathrm{2}} +\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}+\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}+\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={n}\left\{\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}+\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}}{\mathrm{6}}\left\{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{6}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}}{\mathrm{6}}\left\{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{n}+\mathrm{2}+\mathrm{3}{n}−\mathrm{3}+\mathrm{6}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}}{\mathrm{6}}\left\{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}+\mathrm{5}\right\} \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} } {\sum}}\left[\sqrt{{i}}\right]=\frac{{n}\left(\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}+\mathrm{5}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\: \\ $$
Commented by qaz last updated on 22/Jul/21
$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{a}\:\mathrm{lot}\:\mathrm{sir} \\ $$