Math Question and Answers


Question and Answers Forum

All Questions Topic List
Arithmetic Questions
Previous in All Question Next in All Question
Previous in Arithmetic Next in Arithmetic
Question Number 147714 by puissant last updated on 22/Jul/21
$Resoudre log_a (x^2 ) > log_a^2 (3x−2) avec a∈R_+ \{1} NB: a et a^2 sont les bases des logarithmes des nombres de l′ine^� galite.. les resultats se donnerons soua forme d′ine^� galite selon les cas..$
$Resoudre$ $\log_{a} (x^{2}) > \log_{a^{2}} (3 x - 2)$ $avec a \in R_{+} ∖ {1}$ $NB : a et a^{2} sont les bases des logarithmes$ $des nombres de l^{'} in \overset{´}{e g a l i t e} . .$ $les resultats se donnerons soua forme$ $d^{'} in \overset{´}{e g a l i t e} selon les cas . .$
	Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 22/Jul/21
	$log_a (x^2 ) > log_a^2 (3x−2), a∈R_+ ^∗ \{1} ⇔ ((ln(x^2 ))/(lna)) > ((ln(3x−2))/(lna^2 )) = ((ln(3x−2))/(2lna)) (1) •1er cas : 0 < a < 1, lna < 0 (1) : ln(x^2 ) < (1/2)ln(3x−2) ⇔ 2ln(x^2 ) < ln(3x−2) ⇔ ln(x^4 ) < ln(3x−2) ⇔ x^4 < 3x−2 ⇔ x^4 −3x+2 < 0 ⇔ (x−1)(x^3 +x^2 +x−2) < 0 (2) On a necessairement 3x−2 > 0 ⇒ x > (2/3) et l′etude du trinome x^3 +x^2 +x−2 montre qu′il admet une racine reelle unique α (≈0,811) −Si x∈](2/3);α] : x−1 < 0 et x^3 +x^2 +x−2 ≤ 0 (2) est impossible. −Si x∈]α;1[ : x−1 < 0 et x^3 +x^2 +x−2 > 0 (2) est verifiee. −Si x∈[1;+∞[ : x−1 ≥ 0 et x^3 +x^2 +x−2 > 0 (2) est impossible. Finalement, S = ]α;1[ si a∈]0;1[ •2eme cas : a > 1, lna > 0 L′inegalite devient : (x−1)(x^3 +x^2 +x−2) > 0 (3) et S = ](2/3);α[∪]1;+∞[ si a∈]1;+∞[$
	$\log_{a} (x^{2}) > \log_{a^{2}} (3 x - 2), a \in R_{+}^{*} ∖ {1}$ $\Leftrightarrow \frac{\ln (x^{2})}{\ln a} > \frac{\ln (3 x - 2)}{\ln a^{2}} = \frac{\ln (3 x - 2)}{2 \ln a} (1)$ $∙ 1 er cas : 0 < a < 1, \ln a < 0$ $(1) : \ln (x^{2}) < \frac{1}{2} \ln (3 x - 2)$ $\Leftrightarrow 2 \ln (x^{2}) < \ln (3 x - 2)$ $\Leftrightarrow \ln (x^{4}) < \ln (3 x - 2)$ $\Leftrightarrow x^{4} < 3 x - 2$ $\Leftrightarrow x^{4} - 3 x + 2 < 0$ $\Leftrightarrow (x - 1) (x^{3} + x^{2} + x - 2) < 0 (2)$ $On a necessairement 3 x - 2 > 0$ $\Rightarrow x > \frac{2}{3} et l^{'} etude du trinome$ $x^{3} + x^{2} + x - 2 montre {qu}^{'} il admet une$ $racine reelle unique α (\approx 0, 811)$ $- Si x \in] \frac{2}{3}; α] :$ $x - 1 < 0 et x^{3} + x^{2} + x - 2 ⩽ 0$ $(2) est impossible .$ $- Si x \in] α; 1 [:$ $x - 1 < 0 et x^{3} + x^{2} + x - 2 > 0$ $(2) est verifiee .$ $- Si x \in [1; + \infty [:$ $x - 1 ⩾ 0 et x^{3} + x^{2} + x - 2 > 0$ $(2) est impossible .$ $Finalement, S =] α; 1 [si a \in] 0; 1 [$ $∙ 2 eme cas : a > 1, \ln a > 0$ $L^{'} inegalite devient :$ $(x - 1) (x^{3} + x^{2} + x - 2) > 0 (3)$ $et S =] \frac{2}{3}; α [\cup] 1; + \infty [si a \in] 1; + \infty [$
	Commented bypuissant last updated on 22/Jul/21

	$merci prof$
Terms of Service
Privacy Policy
Contact: info@tinkutara.com

Question and Answers Forum