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Question Number 147714 by puissant last updated on 22/Jul/21

Resoudre log_a (x^2 ) > log_a^2 (3x−2) avec a∈R_+ \{1} NB: a et a^2 sont les bases des logarithmes des nombres de l′ine^� galite.. les resultats se donnerons soua forme d′ine^� galite selon les cas..

$$\mathrm{Resoudre} \\ $$ $$\mathrm{log}_{\mathrm{a}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\:>\:\mathrm{log}_{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \left(\mathrm{3x}−\mathrm{2}\right) \\ $$ $$\mathrm{avec}\:\:\mathrm{a}\in\mathbb{R}_{+} \backslash\left\{\mathrm{1}\right\} \\ $$ $$\mathrm{NB}:\:\mathrm{a}\:\mathrm{et}\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sont}\:\mathrm{les}\:\mathrm{bases}\:\mathrm{des}\:\mathrm{logarithmes} \\ $$ $$\mathrm{des}\:\mathrm{nombres}\:\mathrm{de}\:\mathrm{l}'\mathrm{in}\acute {\mathrm{e}galite}.. \\ $$ $$\mathrm{les}\:\mathrm{resultats}\:\mathrm{se}\:\mathrm{donnerons}\:\mathrm{soua}\:\mathrm{forme} \\ $$ $$\mathrm{d}'\mathrm{in}\acute {\mathrm{e}galite}\:\mathrm{selon}\:\mathrm{les}\:\mathrm{cas}.. \\ $$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 22/Jul/21

log_a (x^2 ) > log_a^2 (3x−2), a∈R_+ ^∗ \{1} ⇔ ((ln(x^2 ))/(lna)) > ((ln(3x−2))/(lna^2 )) = ((ln(3x−2))/(2lna)) (1) •1er cas : 0 < a < 1, lna < 0 (1) : ln(x^2 ) < (1/2)ln(3x−2) ⇔ 2ln(x^2 ) < ln(3x−2) ⇔ ln(x^4 ) < ln(3x−2) ⇔ x^4 < 3x−2 ⇔ x^4 −3x+2 < 0 ⇔ (x−1)(x^3 +x^2 +x−2) < 0 (2) On a necessairement 3x−2 > 0 ⇒ x > (2/3) et l′etude du trinome x^3 +x^2 +x−2 montre qu′il admet une racine reelle unique α (≈0,811) −Si x∈](2/3);α] : x−1 < 0 et x^3 +x^2 +x−2 ≤ 0 (2) est impossible. −Si x∈]α;1[ : x−1 < 0 et x^3 +x^2 +x−2 > 0 (2) est verifiee. −Si x∈[1;+∞[ : x−1 ≥ 0 et x^3 +x^2 +x−2 > 0 (2) est impossible. Finalement, S = ]α;1[ si a∈]0;1[ •2eme cas : a > 1, lna > 0 L′inegalite devient : (x−1)(x^3 +x^2 +x−2) > 0 (3) et S = ](2/3);α[∪]1;+∞[ si a∈]1;+∞[

$$\mathrm{log}_{{a}} \left({x}^{\mathrm{2}} \right)\:>\:\mathrm{log}_{{a}^{\mathrm{2}} } \left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}\right),\:{a}\in\mathbb{R}_{+} ^{\ast} \backslash\left\{\mathrm{1}\right\} \\ $$ $$\Leftrightarrow\:\frac{\mathrm{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{ln}{a}}\:>\:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{ln}{a}^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2ln}{a}}\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$ $$ \\ $$ $$\bullet\mathrm{1er}\:\mathrm{cas}\::\:\mathrm{0}\:<\:{a}\:<\:\mathrm{1},\:\mathrm{ln}{a}\:<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{1}\right)\::\:\mathrm{ln}\left({x}^{\mathrm{2}} \right)\:<\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}\right) \\ $$ $$\Leftrightarrow\:\mathrm{2ln}\left({x}^{\mathrm{2}} \right)\:<\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}\right) \\ $$ $$\Leftrightarrow\:\mathrm{ln}\left({x}^{\mathrm{4}} \right)\:<\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}\right) \\ $$ $$\Leftrightarrow\:{x}^{\mathrm{4}} \:<\:\mathrm{3}{x}−\mathrm{2} \\ $$ $$\Leftrightarrow\:{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}\:<\:\mathrm{0} \\ $$ $$\Leftrightarrow\:\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}\right)\:<\:\mathrm{0}\:\:\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\ $$ $$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{necessairement}\:\mathrm{3}{x}−\mathrm{2}\:>\:\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\:{x}\:>\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\:\mathrm{et}\:\mathrm{l}'\mathrm{etude}\:\mathrm{du}\:\mathrm{trinome} \\ $$ $$\:{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}\:\mathrm{montre}\:\mathrm{qu}'\mathrm{il}\:\mathrm{admet}\:\mathrm{une} \\ $$ $$\mathrm{racine}\:\mathrm{reelle}\:\mathrm{unique}\:\alpha\:\left(\approx\mathrm{0},\mathrm{811}\right) \\ $$ $$ \\ $$ $$\left.−\left.\mathrm{Si}\:{x}\in\right]\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}};\alpha\right]\:: \\ $$ $${x}−\mathrm{1}\:<\:\mathrm{0}\:\mathrm{et}\:{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}\:\leqslant\:\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{impossible}. \\ $$ $$ \\ $$ $$\left.−\mathrm{Si}\:{x}\in\right]\alpha;\mathrm{1}\left[\::\right. \\ $$ $${x}−\mathrm{1}\:<\:\mathrm{0}\:\mathrm{et}\:{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}\:>\:\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{verifiee}. \\ $$ $$ \\ $$ $$−\mathrm{Si}\:{x}\in\left[\mathrm{1};+\infty\left[\::\right.\right. \\ $$ $${x}−\mathrm{1}\:\geqslant\:\mathrm{0}\:\mathrm{et}\:{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}\:>\:\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{impossible}. \\ $$ $$ \\ $$ $$\left.\mathrm{Finalement},\:\mathcal{S}\:=\:\right]\alpha;\mathrm{1}\left[\:\mathrm{si}\:{a}\in\right]\mathrm{0};\mathrm{1}\left[\right. \\ $$ $$ \\ $$ $$\bullet\mathrm{2eme}\:\mathrm{cas}\::\:{a}\:>\:\mathrm{1},\:\mathrm{ln}{a}\:>\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{L}'\mathrm{inegalite}\:\mathrm{devient}\:: \\ $$ $$\left({x}−\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} +{x}−\mathrm{2}\right)\:>\:\mathrm{0}\:\:\:\:\left(\mathrm{3}\right) \\ $$ $$\left.\mathrm{et}\:\mathcal{S}\:=\:\right]\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}};\alpha\left[\cup\right]\mathrm{1};+\infty\left[\:\mathrm{si}\:{a}\in\right]\mathrm{1};+\infty\left[\right. \\ $$

Commented bypuissant last updated on 22/Jul/21

merci prof

$$\mathrm{merci}\:\mathrm{prof} \\ $$

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