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Question Number 147876 by puissant last updated on 24/Jul/21

	Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 24/Jul/21

	$On raisonne par recurrence .$ $On considere la propriete suivante :$ $‘ ‘ Si on retire une case quelconque$ $a un damier de cote 2^{n} \times 2^{n}, il est$ $toujours possible de paver le reste$ $du damier avec des triminos coudes$ $en forme de L^{″} .$ $Montrons cette propriete par$ $recurrence sur n .$ $∙ Cas de base n = 1 :$ $Un damier de cote 2^{1} = 2 auquel$ $on retire une case est couvert par$ $exactement un trimino . C^{'} est un cas$ $trivial .$ $∙ Recurrence :$ $On suppose {qu}^{'} un damier de cote 2^{n}$ $auquel on retire une case peut toujours$ $etre pave par des triminos . Montrons$ $que c^{'} est egalement le cas d^{'} un$ $damier de cote 2^{n + 1} auquel on retire$ $une case .$ $Un damier de cote 2^{n + 1} est forme$ $de quatre carres de cote 2^{n} .$ $La case retiree est dans exactement$ $un de ces quatre carres . On peut retirer$ $une case a chacun des trois autres$ $carres en placant un trimino au centre$ $du damier de cote 2^{n + 1} . On obtient$ $alors un trimino et quatre carres$ $de cote 2^{n} auxquels une case a ete$ $retiree . Par hypothese de recurrence,$ $ces quatre carres peuvent etre paves$ $par des triminos donc le damier de$ $cote 2^{n + 1} aussi .$ $Conclusion : la propriete est bien$ $verifiee pour tous les damiers de$ $cote 2^{n} et, au cas particulier, pour un$ $damier avec 1024 cases de cote$ $(car 1024 = 2^{10}) .$
	Commented by puissant last updated on 24/Jul/21

	$merci$
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