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Question Number 147988 by puissant last updated on 24/Jul/21

La somme des n premiers termes d′une  se^� rie est donne^�  par S_n =5n^2 +2n le   n−ieme terme de cette serie est:

$$\mathrm{La}\:\mathrm{somme}\:\mathrm{des}\:\mathrm{n}\:\mathrm{premiers}\:\mathrm{termes}\:\mathrm{d}'\mathrm{une} \\ $$$$\mathrm{s}\acute {\mathrm{e}rie}\:\mathrm{est}\:\mathrm{donn}\acute {\mathrm{e}}\:\mathrm{par}\:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{5n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2n}\:\mathrm{le}\: \\ $$$$\mathrm{n}−\mathrm{ieme}\:\mathrm{terme}\:\mathrm{de}\:\mathrm{cette}\:\mathrm{serie}\:\mathrm{est}: \\ $$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 24/Jul/21

Soit u_1  le 1er terme de la serie.  On a u_1  = S_1  = 5(1)^2 +2(1) = 7    Soit u_k  les termes de la serie.  S_n  = Σ_(k=1) ^n u_k  = 5n^2 +2n  Et donc, pour n ≥ 2, on a :  S_(n−1)  = Σ_(k=1) ^(n−1) u_k  = 5(n−1)^2 +2(n−1)  Le n^(ieme) terme vaut :  u_n  = S_n −S_(n−1)  = 5n^2 +2n−5(n−1)^2 −2(n−1)  u_n  = 10n−3    A partir de u_n , on peut alors retrouver  reciproquement l′expression de S_n  :  S_n  = Σ_(k=1) ^n u_k  = Σ_(k=1) ^n (10k−3)  = 10Σ_(k=1) ^n k−Σ_(k=1) ^n 3   S_n  = 10((n(n+1))/2)−3n = 5n^2 +2n

$$\mathrm{Soit}\:{u}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{le}\:\mathrm{1er}\:\mathrm{terme}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{serie}. \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:{u}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{S}_{\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{5}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{7} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Soit}\:{u}_{{k}} \:\mathrm{les}\:\mathrm{termes}\:\mathrm{de}\:\mathrm{la}\:\mathrm{serie}. \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{u}_{{k}} \:=\:\mathrm{5}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{n} \\ $$$$\mathrm{Et}\:\mathrm{donc},\:\mathrm{pour}\:{n}\:\geqslant\:\mathrm{2},\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:: \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}−\mathrm{1}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{u}_{{k}} \:=\:\mathrm{5}\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Le}\:{n}^{{ieme}} \mathrm{terme}\:\mathrm{vaut}\:: \\ $$$${u}_{{n}} \:=\:\mathrm{S}_{{n}} −{S}_{{n}−\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{5}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{n}−\mathrm{5}\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$${u}_{{n}} \:=\:\mathrm{10}{n}−\mathrm{3} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{A}\:\mathrm{partir}\:\mathrm{de}\:{u}_{{n}} ,\:\mathrm{on}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{alors}\:\mathrm{retrouver} \\ $$$$\mathrm{reciproquement}\:\mathrm{l}'\mathrm{expression}\:\mathrm{de}\:\mathrm{S}_{{n}} \:: \\ $$$$\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{u}_{{k}} \:=\:\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(\mathrm{10}{k}−\mathrm{3}\right)\:\:=\:\mathrm{10}\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{3} \\ $$$$\:\mathrm{S}_{{n}} \:=\:\mathrm{10}\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\mathrm{3}{n}\:=\:\mathrm{5}{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{n} \\ $$

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