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Question Number 148092 by puissant last updated on 25/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 25/Jul/21

$$\mathrm{R}\mathrm{est}\mathrm{le}\mathrm{rayon}\mathrm{du}\mathrm{cercle}.$$$$\mathrm{O}\mathrm{est}\mathrm{le}\mathrm{centre}\mathrm{du}\mathrm{cercle}.$$$$\mathrm{B}\left(\begin{array}{c}\mathrm{R}\\ \mathrm{R}\end{array}\right),\mathrm{C}\left(\begin{array}{c}\mathrm{R}\\ \mathrm{R}-15\end{array}\right)$$$${\mathrm{Aire}}_{\mathrm{ABC}}=\frac{1}{2}\mathrm{AB}\times \mathrm{AC}$$$$\Rightarrow \mathrm{AB}=\frac{2\times {\mathrm{Aire}}_{\mathrm{ABC}}}{\mathrm{AC}}=\frac{2\times 60}{15}=8$$$$\mathrm{On}\mathrm{en}\mathrm{deduit}\mathrm{les}\mathrm{coordonnees}\mathrm{de}\mathrm{A}\mathrm{et}$$$$\mathrm{donc}\mathrm{du}\mathrm{vecteur}\overrightarrow{\mathrm{AC}}.$$$$\mathrm{A}\left(\begin{array}{c}\mathrm{R}-8\\ \mathrm{R}\end{array}\right),\overrightarrow{\mathrm{AC}}\left(\begin{array}{c}8\\ -15\end{array}\right)$$$$$$$$\mathrm{Si}\mathrm{T}\mathrm{est}\mathrm{le}\mathrm{point}\mathrm{de}\mathrm{tangence}\mathrm{entre}$$$$\mathrm{la}\mathrm{droite}\left(\mathrm{AC}\right)\mathrm{et}\mathrm{le}\mathrm{cercle},\mathrm{on}\mathrm{a}$$$$\mathrm{necessairement}\overrightarrow{\mathrm{OT}}\bullet \overrightarrow{\mathrm{AC}}=0\mathrm{car}\mathrm{ces}$$$$\mathrm{deux}\mathrm{vecteurs}\mathrm{sont}\mathrm{perpendiculaires}.$$$$$$$$\Rightarrow 8x_{\mathrm{T}}-15y_{\mathrm{T}}=0\left(1\right)$$$$$$$$\mathrm{La}\mathrm{droite}\left(\mathrm{AC}\right)\mathrm{a}\mathrm{pour}\mathrm{equation}:$$$$y-y_{\mathrm{A}}=\frac{y_{\mathrm{C}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{C}}-x_{\mathrm{A}}}(x-x_{\mathrm{A}})$$$$y-\mathrm{R}=-\frac{15}{8}(x-\mathrm{R}+8)$$$$\mathrm{T}\mathrm{est}\mathrm{un}\mathrm{point}\mathrm{de}\left(\mathrm{AB}\right)\mathrm{et}\mathrm{donc}:$$$$y_{\mathrm{T}}-\mathrm{R}=-\frac{15}{8}(x_{\mathrm{T}}-\mathrm{R}+8)$$$$\mathrm{Avec}\left(1\right):y_{\mathrm{T}}=\frac{8}{15}{x}_{\mathrm{T}}$$$$\frac{8}{15}{x}_{\mathrm{T}}-\mathrm{R}=-\frac{15}{8}(x_{\mathrm{T}}-\mathrm{R}+8)$$$$x_{\mathrm{T}}=\frac{345}{289}\mathrm{R}-\frac{1800}{289}$$$${\mathrm{D}}^{\prime }\mathrm{ou}{y}_{\mathrm{T}}=\frac{8}{15}{x}_{\mathrm{T}}=\frac{184}{289}\mathrm{R}-\frac{960}{289}$$$$$$$$\mathrm{Et}\mathrm{puis},\mathrm{T}\mathrm{est}\mathrm{un}\mathrm{point}\mathrm{du}\mathrm{cercle}:$$$$x_{\mathrm{T}}^2+y_{\mathrm{T}}^2={\mathrm{R}}^2$$$${(\frac{345}{289}\mathrm{R}-\frac{1800}{289})}^2+{(\frac{184}{289}\mathrm{R}-\frac{960}{289})}^2={\mathrm{R}}^2$$$$\frac{95281}{57600}{\mathrm{R}}^2-\frac{6647}{450}\mathrm{R}+\frac{4464}{225}=0$$$$\Rightarrow \mathrm{R}=3\mathrm{ou}\mathrm{R}=20$$$$\mathrm{La}\mathrm{valeur}3\mathrm{est}\mathrm{a}\mathrm{rejeter}\mathrm{car}\mathrm{on}\mathrm{cherche}$$$$\mathrm{une}\mathrm{valeur}\mathrm{au}\mathrm{moins}\mathrm{superieure}\mathrm{a}$$$$15\mathrm{cm}.$$$$\mathrm{Et}\mathrm{donc}:\mathrm{R}=20\mathrm{cm}$$$$$$$$\mathrm{On}\mathrm{peut}\mathrm{verifier}\mathrm{pour}\mathrm{R}=20:$$$$\mathrm{A}\left(\begin{array}{c}12\\ 20\end{array}\right),\mathrm{B}\left(\begin{array}{c}20\\ 20\end{array}\right),\mathrm{C}\left(\begin{array}{c}20\\ 5\end{array}\right),\mathrm{T}\left(\begin{array}{c}\frac{300}{17}\\ \frac{160}{17}\end{array}\right)$$$$\mathrm{AB}=8\mathrm{et}\mathrm{BC}=15$$$$\left(\mathrm{AB}\right):y=-\frac{15}{8}x+\frac{85}{2}$$$$\mathrm{On}\mathrm{a}\mathrm{bien}:$$$$\bullet \mathrm{BC}=15$$$$\bullet {\mathrm{Aire}}_{\mathrm{ABC}}=60$$$$-\frac{15}{8}\left(\frac{300}{17}\right)+\frac{85}{2}=\frac{160}{17}\Rightarrow \mathrm{T}\in \left(\mathrm{AB}\right)$$$$\bullet {\left(\frac{300}{17}\right)}^2+{\left(\frac{160}{17}\right)}^2=400={20}^2$$$$\mathrm{donc}\mathrm{T}\in \mathcal{C}(\mathrm{O},20)$$$$$$$${\mathrm{L}}^{\prime }\mathrm{aire}\mathrm{du}\mathrm{cercle}\mathrm{est}\pi {\mathrm{R}}^2,\mathrm{soit}400\pi$$

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