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Question Number 148132 by Jonathanwaweh last updated on 25/Jul/21

	Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 25/Jul/21

	$1 .$ $ABCD est un rectangle et possede$ $donc 4 angles droits que les$ $bissectrices divisent a 45 ° .$ $On a donc :$ $\hat{BAE} = \hat{EBA} = \hat{GDC} = \hat{GDC} = 45 ° (1)$ $Les triangles ABE et DGC sont donc$ $des triangles isoceles rectangles$ $respectivement en E et G .$ $En outre AB = DC (2)$ $Il decoule des remarques (1) et (2)$ $que les 2 triangles ABE et DGC sont$ $superposables .$ $2 .$ $Soit M le milieu du segment [AD]$ $et N le milieu du segment [BC] .$ $On considere la droite Δ = (MN) .$ $(on pourrait tout aussi bien$ $definir Δ a partir des points F et H)$ $La symetrie plane d^{'} axe Δ (ou$ $reflexion axiale d^{'} axe Δ) est une$ $isometrie qui transforme A en D, D en$ $A, B en C, C en B, G en E, E en G, et$ $H et F en eux - memes .$ $La symetrie etant une isometrie, elle$ $conserve les angles et les distances, et$ $en particulier elle transforme le$ $triangle ABE en triangle DGC et$ $reciproquement, comme la symetrie$ $est involutive, elle transforme le$ $triangle DGC en triangle ABE .$ $3 .$ $De la remarque (1), il vient que :$ $\hat{AEB} = \hat{CGD} = 90 ° .$ $En faisant pivoter la figure de 90 °, la$ $logueur jouant le role de la largeur et$ $la largeur jouant le role de la longueur,$ $on deduit avec le meme raisonnement$ $\hat{GHE} = \hat{EFG} = 90 ° .$ $En resume, le quadrilatere EFGH$ $a quatre angles droits, c^{'} est donc un$ $rectangle . (3)$ $Mais comme la symetrie d^{'} axe Δ est$ $une isometrie, elle conserve les$ $distances et donc :$ $FE = FG et HG = HE (4)$ $De (3) et (4), il vient que EFGH$ $est un carre .$ $4 .$ $Pythagore help me!$ $∙ {AE}^{2} + {EB}^{2} = {AB}^{2} = a^{2}$ ${2 AE}^{2} = a^{2} \Rightarrow AE = \frac{a}{\sqrt{2}} (5)$ $∙ {AH}^{2} + {HD}^{2} = {AD}^{2} = b^{2}$ ${2 AH}^{2} = b^{2} \Rightarrow AH = \frac{b}{\sqrt{2}} (6)$ $Soit c le cote du carre . Avec (5) et (6) :$ $c = AE - AH = \frac{a - b}{\sqrt{2}}$ $Remarque : si le rectangle initial$ $devient carre, c^{'} est - a - dire si a = b$ $alors c = 0 . Dans ce cas le carre EFGH$ $est reduit a un point . C^{'} est rigolo .$
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