f(t)=sin(pt) fourier serie..


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Question Number 148237 by puissant last updated on 26/Jul/21

$f (t) = s i n (p t) f o u r i e r s e r i e . .$
	Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 26/Jul/21

	$f est une fonction impaire et$ $donc a_{0} = 0 . Les autres a_{n} sont nuls$ $egalement .$ $La periode T de f est \frac{2 π}{p} .$ $∙ Calculons b_{1} a part :$ $b_{1} = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} f (t) \sin (\frac{2 π t}{T}) d t$ $b_{1} = \frac{p}{π} \int_{- \frac{π}{p}}^{+ \frac{π}{p}} \sin (p t) \sin (p t) d t$ $b_{1} = \frac{p}{π} \int_{- \frac{π}{p}}^{+ \frac{π}{p}} \frac{1}{2} (1 - \cos (2 p t)) d t$ $b_{1} = \frac{p}{2 π} {[t - \frac{\sin (2 p t)}{2 p}]}_{- \frac{π}{p}}^{+ \frac{π}{p}} = 1$ $∙ Calculons les autres b_{n}, n > 1 :$ $b_{n} = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2}}^{+ \frac{T}{2}} f (t) \sin (\frac{2 π n t}{T}) d t$ $b_{n} = \frac{p}{π} \int_{- \frac{π}{p}}^{+ \frac{π}{p}} \sin (p t) \sin (p n t) d t$ $b_{n} = \frac{p}{π} \int_{- \frac{π}{p}}^{+ \frac{π}{p}} \frac{1}{2} [\cos (p n t - p t) - \cos (p n t + p t)] d t$ $b_{n} = \frac{p}{π} \int_{- \frac{π}{p}}^{+ \frac{π}{p}} \frac{1}{2} [\cos ((n - 1) p t) - \cos ((n + 1) p t)] d t$ $b_{n} = \frac{p}{2 π} {[\frac{\sin ((n - 1) p t)}{n - 1} - \frac{\sin ((n + 1) p t)}{n + 1}]}_{- \frac{π}{p}}^{+ \frac{π}{p}}$ $b_{n} = \frac{p}{π} {[\frac{\sin ((n - 1) π)}{n - 1} - \frac{\sin ((n + 1) π)}{n + 1}]}_{- \frac{π}{p}}^{+ \frac{π}{p}}$ $b_{n} = \frac{p}{π} (\frac{{(- 1)}^{n - 1}}{n - 1} - \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n + 1})$ $b_{n} = - \frac{p {(- 1)}^{n}}{π} (\frac{1}{n - 1} - \frac{1}{n + 1})$ $b_{n} = - \frac{p {(- 1)}^{n}}{π (n^{2} - 1)}$ $Remarque : dans l^{'} expression de b_{n},$ $le denominateur est nul pour n = 1 .$ $C^{'} est pour ca {qu}^{'} on a pris soin de$ $calculer b_{1} a part .$ $Resultat des courses :$ $Sur une periode T = \frac{2 π}{p}, on a :$ $f (t) = \sin (p t) = \sin (p t) - \frac{p}{π} \underset{n = 2}{\sum^{\infty}} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2} - 1} \sin (p n t)$
	Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 26/Jul/21

	$J^{'} ai rectifie une erreur de calcul .$ $la somme qui apparait est bien$ $sur nulle . Une fonction sinusoidale$ $se confond avec sa serie de Fourier sur$ $sa periode . En clair, la serie de$ $Fourier de \sin (p t) sur \frac{2 π}{p} est \sin (p t)$ $tout simplement . Mais on peut$ $calculer une serie de Fourier sur$ $une periode tronquee . La, on a une$ $serie non nulle .$ $(je ne suis pas prof)$
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