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Question Number 148312 by puissant last updated on 27/Jul/21

calculer la differentielle de y=log(x) teste: sachant que log(35)=1,54407, calculer log(3501) NB: on rappelle que (1/(log(10)))=log(e)=0,43429..

$${calculer}\:{la}\:{differentielle}\:{de}\: \\ $$$${y}={log}\left({x}\right) \\ $$$${teste}:\:{sachant}\:{que}\:{log}\left(\mathrm{35}\right)=\mathrm{1},\mathrm{54407}, \\ $$$${calculer}\:{log}\left(\mathrm{3501}\right) \\ $$$${NB}:\:{on}\:{rappelle}\:{que}\:\frac{\mathrm{1}}{{log}\left(\mathrm{10}\right)}={log}\left({e}\right)=\mathrm{0},\mathrm{43429}.. \\ $$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 27/Jul/21

On a la relation : log_a x = ((lnx)/(ln_a )) En particulier logx = ((lnx)/(ln10)) (1) Attention aux notations. Dans les pays anglo−saxons, le logarithme neperien ln (base e) est souvent note log et le logarithme decimal log (base 10) est souvent note Log (avec une majuscule). Dans notre cas, la notation log dans (1) est bien un logaritme decimal (notation francaise donc). Et dlog(x) = d((lnx)/(ln10)) = (1/(ln10)).(dx/x) On en deduit une estimation de l′erreur (tres utile en physique) : Δy = (1/(ln10)).((Δx)/x) log(3501) = log(35,01)+2 Δlog(35,01) = 0,43429.((0,01)/(35)) ≈ 1,24.10^(−4) log(3501) ≈ log(35)+Δlog(35)+2 log(3501) ≈ 1,54407+1,24.10^(−4) +2 log(3501) ≈ 3,54419

$$\mathrm{On}\:\mathrm{a}\:\mathrm{la}\:\mathrm{relation}\::\:\mathrm{log}_{{a}} {x}\:=\:\frac{\mathrm{ln}{x}}{\mathrm{ln}_{{a}} } \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{particulier}\:\mathrm{log}{x}\:=\:\frac{\mathrm{ln}{x}}{\mathrm{ln10}}\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Attention}\:\mathrm{aux}\:\mathrm{notations}.\:\mathrm{Dans}\:\mathrm{les} \\ $$$$\mathrm{pays}\:\mathrm{anglo}−\mathrm{saxons},\:\mathrm{le}\:\mathrm{logarithme} \\ $$$$\mathrm{neperien}\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{base}\:{e}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{souvent} \\ $$$$\mathrm{note}\:\mathrm{log}\:\mathrm{et}\:\mathrm{le}\:\mathrm{logarithme}\:\mathrm{decimal}\:\mathrm{log} \\ $$$$\left(\mathrm{base}\:\mathrm{10}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{souvent}\:\mathrm{note}\:\mathrm{Log}\:\left(\mathrm{avec}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{une}\:\mathrm{majuscule}\right). \\ $$$$\mathrm{Dans}\:\mathrm{notre}\:\mathrm{cas},\:\mathrm{la}\:\mathrm{notation}\:\mathrm{log}\:\mathrm{dans} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{bien}\:\mathrm{un}\:\mathrm{logaritme}\:\mathrm{decimal} \\ $$$$\left(\mathrm{notation}\:\mathrm{francaise}\:\mathrm{donc}\right). \\ $$$$\mathrm{Et}\:{d}\mathrm{log}\left({x}\right)\:=\:{d}\frac{\mathrm{ln}{x}}{\mathrm{ln10}}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln10}}.\frac{{dx}}{{x}} \\ $$$$\mathrm{On}\:\mathrm{en}\:\mathrm{deduit}\:\mathrm{une}\:\mathrm{estimation}\:\mathrm{de} \\ $$$$\mathrm{l}'\mathrm{erreur}\:\left(\mathrm{tres}\:\mathrm{utile}\:\mathrm{en}\:\mathrm{physique}\right)\:: \\ $$$$\Delta{y}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ln10}}.\frac{\Delta{x}}{{x}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{log}\left(\mathrm{3501}\right)\:=\:\mathrm{log}\left(\mathrm{35},\mathrm{01}\right)+\mathrm{2} \\ $$$$\Delta\mathrm{log}\left(\mathrm{35},\mathrm{01}\right)\:=\:\mathrm{0},\mathrm{43429}.\frac{\mathrm{0},\mathrm{01}}{\mathrm{35}}\:\approx\:\mathrm{1},\mathrm{24}.\mathrm{10}^{−\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{log}\left(\mathrm{3501}\right)\:\approx\:\mathrm{log}\left(\mathrm{35}\right)+\Delta\mathrm{log}\left(\mathrm{35}\right)+\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{log}\left(\mathrm{3501}\right)\:\approx\:\mathrm{1},\mathrm{54407}+\mathrm{1},\mathrm{24}.\mathrm{10}^{−\mathrm{4}} +\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{log}\left(\mathrm{3501}\right)\:\approx\:\mathrm{3},\mathrm{54419} \\ $$

Commented by puissant last updated on 27/Jul/21

merci..

$${merci}.. \\ $$

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